Пространственное вращение (стр. 2 из 2)

	0		0

4.3.2.8. Отдельные фрагменты лапласиана, построенные на разных переменных, удобно обозначить самостоятельными символами. Для краткости переменные отметим в качестве индексов

(4.42)

(4.43)

. (4.44)

Вся чисто угловая часть лапласиана, заключенная в скобки в формуле (4.41) называется оператором Лежандра

.

(4.45)

В целом же лапласиан оказывается такой комбинацией трёх операторов, которая обеспечивает далее разделение переменных во многих дифференциальных уравнениях, в том числе и в уравнении Шредингера, построенных на его основе:

(4.46)

4.3.2.9. Напомним, что с оператором

(4.44) составляющим самую внутреннюю часть конструкции и оператора Лапласа, и оператора Лежандра мы уже имели дело при рассмотрении одномерного вращения (раздел 3.2.). Были найдены его собственные волновые функции, которые далее войдут в качестве одного из сомножителей общих собственных функций этих операторов.

Присутствие радиального слагаемого

в этом случае заставляет представить оператор кинетической энергии в виде суммы

(4.50)

4.3.3.3. В силу того, что оператор кинетической энергии частицы отличается от лапласиана только множителем

(см. уравнение 2.15), домножив на него формулу (4.46), получим

(4.51)

Сравнивая формулы (4.50) и (4.51), приходим к фундаментальному соотношению

, (4.52)

т.е. оператор квадрата момента импульса совпадает с оператором Лежандра

с точностью до постоянного множителя . Заметим, что размерность собственных значений оператора совпадает с размерностью постоянной Планка .

4.3.3.4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов

и . Процедура перехода к сферическим координатам для компонент аналогична той, что была осуществлена в разделе 3.2.2. при переводе к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах имеет тот же самый вид (3.24). Используя уравнения (4.52) и (4.34), читатель сам легко получит выражения

(4.53)

(4.54)

(3.24)

Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (4.52), которая в развернутой форме с учетом (4.45) имеет вид

(4.55)