Общая гидродинамика 2 (стр. 3 из 3)

Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражения для компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенный закон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнение движения, получим

(24)

Если жидкость несжимаемая и

= const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

(25)

Уравнения (24), (25) были выведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды и о межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.; С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основе феноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростей деформации и напряжений, обобщающих закон Ньютона, эти уравнения вывели Б.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.

Воспользуемся теперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить

из уравнения энергии:

(26)

Входящая в это равенство функция

называется диссипативной функцией. Очевидно, при .

Уравнение энергии переписывается в следующей эквивалентной форме:

(27)

Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом

к горизонту. Определить движение жидкости, возникающие под влиянием поля тяжести.

Решение: Выберем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости xy, причем ось x выберем по направлению течения. Ось z перпендикулярна плоскости xy и дополняет систему координат до правой ортогональной. Ищется решение, зависящее только от координаты z. Уравнение Навье-Стокса с

при наличии гравитационного поля g имеет вид:

На свободной поверхности ( z = h ) должны выполняться условия:

где

- атмосферное давление, а - коэффициент динамической вязкости. При z = 0 должно быть ; удовлетворяющие этим условиям решение есть

Количество жидкости, протекающие через поперечное сечение слоя на единицу длинны вдоль y равно