где под подразумевается значение второй частной производной ξ по хв сечении х.
Ввиду малосги величинΔx, ξ и Δξпроизведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):
(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому Δξ , так что слагаемым Δξв суммеΔx+Δξ, можно пренебречь). 
Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получимНаконец, сократив на SΔx, придем к уравнению
которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у иz. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что
Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению 
где G – модуль сдвига.
§ 6. Энергия упругой волны
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна
x = a cos ( wt − kx +a )
Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и . 
Выделенный нами объем обладает кинетической энергией 
(ρΔV – масса объема, – его скорость).
Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации
(ε = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ρυ2 (ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид
Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию
Разделив эту энергию на объемΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии
Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x даетПодставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2υ2 = ω2, получим
В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.
Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равноПлотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т. д.).
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за времяdt энергияdW, то поток энергии ΦравенПоток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеряется в ваттах, эрг/с и т. п.
Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW. Тогда плотность потока энергии равна
(см. (6.7)). Через площадку(рис. 6.1) будет перенесена за время Δt энергия ΔW, заключенная в объеме цилиндра с основаниеми высотой υΔt (υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малостии Δt) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произведение плотности энергииw на объем цилиндра, равный υΔt: 
Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плотности потока энергии:
| |
| |
| |
Наконец, введя векторv, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать
j = wv
Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в разныхточках про- 
странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно
