Согласно (2.4)dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнениемx = a cos [ w ( t + x/υ ) +a ]
Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношениюиз которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину
которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде 
(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:x = a cos ( wt + kx +a )
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx.
При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:a = a0 e–γx. Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:
x = a0 e–γx cos ( wt + kx +a )(a0– амплитуда в точках плоскости х = 0).
Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равнаwt + a. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой
w ( t – r/ υ ) = wt – kr +a
(чтобы пройти путь r, волне требуется время τ =r/υ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием отисточника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид 
x = cos ( wt + kx +a )где a — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины.Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно добавить множитель e–γx.
Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.
§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат x,y,z углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид x = a cos ( wt +a ) Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ =l/υ: 
x = a cos [ w( t − ) +a ] =a cos ( wt − kl +a ).(k =ω/υ; см. формулу (2.7)).
Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l:
nr =rcos φ=l.
Заменим в (3.2) l черезnr:x = a cos ( wt − knr +a )
Векторk =kn,
равный по модулю волновому числуk =2π/λи имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в видеx ( r, t ) = a cos ( wt − kr +a )
Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множительe–γl = e–γ nr.
Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом-вектором r в момент времени l (r определяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у,z, выразим скалярное произведение kr через компоненты векторов по координатным осям:
kr = kxx +kyy + kzz.
Тогда уравнение плоской волны примет видx (x,y,z, t ) = a cos ( wt − kxx –kyy – kzz +a )
