Параметричний резонанс (стр. 1 из 2)

РЕФЕРАТ

на тему:

Параметричний резонанс

Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z₀ коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z₀= = acos

t. Внаслідок коливань точки підвісу система координат, початок якої збігається з точкою підвісу, неінерціальна. Тому, слід врахувати силу інерції, яка в розглядуваному випадку дорівнює

l_z = — m

₀ = m ²a cos t.

Потенціал цієї сили виражається формулою

U = —l_zz = —mla

² cos cos ,

де 8 — кут відхилення маятника від вертикалі, вибраний за узагальнену координату. Функція Лагранжа в цьому разі має вигляд

L =

+ mgl cos

+ mla

²cos

t cos

,

а рівняння Лагранжа

Для малих коливань (

1) це рівняння зводиться до лінійного рівняння

де

= g/l.

Таким чином, коливання точки підвісу математичного маятника еквівалентне зміні з часом його параметрів:

Параметром, що залежить від часу, тут є частота

Ця залежність за певних умов, як буде показано нижче, приводить до наростання з часом амплітуди коливань, тобто до параметричного резонансу або параметричної нестійкості.

Розглянемо спочатку загальний випадок, коли функція

(t) в рівнянні (40.1) є довільною періодичною функцією часу

(t + Т) = (t)

з періодом Т — 2

/ . У зв'язку з цим можна сказати, що рівняння (40.1) інваріантне відносно перетворення t→t+T. Звідси випливає, що коли (t) є розв'язком рівняння то функція (t— Т) теж має бути його розв'язком. З курсу диференціальних рівнянь відомо, що рівняння другого порядку завжди має два лінійно незалежні розв'язки Ql (t) і 92 (t), а будь-який інший розв'язок можна подати у вигляді лінійної комбінації цих двох розв'язків. Зокрема,

₁ (t + T)= а_{11 1} (t) + а_{12 2}(t),

₂ (t + T) = а_{21 1} (t) + a_{22 2} (t).

Завжди можна вибрати систему лінійно незалежних розв'язків так, щоб вони були дійсними. Оскільки аргумент t функцій

₁ (t + T) і ₂ (t + T) дійсний, то ₁ (t + T) і ₂ (t + T) також будуть дійсними. Звідси випливає, що коефіцієнти а₁₁ в формулах дійсні; крім того, їхній визначник відмінний від нуля, інакше функції ₁ (t + T) і ₂ (t + T) були б лінійно залежними. Справді, якщо припустити, що визначник

то а₁₁=

, а

₁ (t + T) = ₁ (t) + а_{12 2}(t + T) = [a_{21 1} (t)+a_{22 2} (t)] = ₂ (t + T)

що означає лінійну залежність функцій

₁ (t + T) і ₂ (t + T)/ Покажемо, що завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, що зміна їх при заміні tна t+ Т зводиться до множення на деякий сталий .множник, тобто (t + T) = . Справді, нехай ₁ (t) і ₂ (t) не мають такої властивості. Тоді помножимо першу рівність на деяку величину , а другу — на і додамо їх:

^’ (t + T)

Підберемо числа

і так, щоб виконувалися різності

Це система однорідних рівнянь відносно величин

і , розв'язок якої існує, якщо

Звідси знаходимо два, взагалі кажучи, комплексно спряжених значення величини

: ₁ і ₂, кожному з яких відповідає оди:І розв'язок системи однорідних рівнянь. Поклавши в = ₁ , знаходимо Тоді із співвідношення

₁^’ (t + T)

Аналогічно для

= ₂, маємо

₂^’ (t + T)

Отже, завжди можна вибрати два таких лінійно незалежних розв'язки рівняння, щоб зміна їх при заміні tна t+ Т зводилась до множення на сталий множник:

₁^’ (t + T) , ₂^’ (t + T)