Параметричний резонанс (стр. 2 из 2)

Такі ж співвідношення справедливі для похідних за часом

₁^’ (t + T) , ₂^’ (t + T)

Формули можна записати тотожно так:

;

Звідси випливає, що функції

П₁(t) =

; П₂(t) =

є періодичними з періодом Т. Отже, система лінійно незалежних розв'язків рівняння має вигляд

₁ (t + T) , ₂^’ (t + T) ,

Сталі

₁ і ₂, зв'язані між собою співвідношенням, яке можна вивести так. Помножимо рівняння, які задовольняють функції ₁ і ₂,

;

відповідно на

₁ і ₂ і віднімемо від першого друге. В результаті дістанемо

звідки випливає, що вираз l(t) =

= constне залежить від часу. Тому l(t+ Т) = l(t). Оскільки з одного боку l (t + T) = ₁ (t +T) ₂ (t + T) = _{1 2}l(t), а з іншого — l (t+ T) = = l (t), то

_{1 2}=1

Оскільки коефіцієнти визначника а_іj дійсні, то величини

₁ і ₂, або дійсні, або комплексно-спряжені. Тоді, враховуючи співвідношення, покладемо ₁ = е^zT , ₂ = е^-zT де z — комплексна число, яке можна знайти, розв'язавши рівняння.

Таким чином, використовуючи співвідношення, робимо висновок, що два лінійно незалежних розв'язки рівняння з періодичним коефіцієнтом

(t) = (t + T) можна записати-у вигляді (теорема Флоке):

₁ (t + T) , ₂^’ (t + T) ,

Тут П₁ (t) і П₂ (t) — періодичні функції з періодом Т, внаслідок чого їх можна розкласти в ряд Фуh'є

П (t)=

Якщо Rez

0, то одна з двох функцій експоненціальне зростатиме з часом. Це означає, що стан рівноваги = 0 не е стійким. Досить будь-якого малого відхилення від положення рівноваги, щоб це відхилення потім експоненціальне збільшувалося з часом. Це явище було названо параметричним резонансом або параметричною нестійкістю.