Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена (стр. 1 из 11)

Рассмотрим одномерное периодическое движение материальной точки. Периодичность движения означает, что координата точки x является периодической функцией времени t:

x = f(t). (1.1)

Иначе говоря, для любого момента времени выполняется равенство

f(t + T) = f(t), (1.2)

где постоянная величина Т называется периодом колебания.

Существенно, что координата может быть не только декартовой, но и углом и т.д.

Существует множество разновидностей периодического движения. Например, таковым является равномерное движение материальной точки по окружности.

Важным типом периодических движений являются колебания, в которых материальная точка за период T дважды проходит положение равновесия, отклоняясь от него в разные стороны.

Рис.1.1. Шарик, подвешенный на пружине.

Характерные примеры физических систем, совершающих колебательные движения, приведены на рисунках 1.1. – 1.6. Следует заметить, что в примерах на рис.1.1, 1.2. и 1.4. тела совершают колебания вдоль прямых линий. В примере 1.5. одномерные колебания совершает поверхность жидкости в трубке (или маленькая частица, плавающая на

поверхности жидкости).

Рис.1.2. Брусок с пружиной на гладком столе пружине.

Рис.1.3. Шарик, подвешенный на нити.

Рис.1.4. Поплавок на поверхности жидкости.

Рис.1.5. U-образная трубка с жидкостью.

Рис.1.6. Электрический контур, содержащий конденсатор с емкостью C и катушку с индуктивностью L.

В примере 1.3. периодически меняется угол отклонения. Наконец, в примере 1.6. периодически изменяется заряд конденсатора и сила тока в катушке. Тем не менее, все эти физические процессы описываются одинаковыми математическими функциями.

2.1.2. гармонические колебания

Наиболее простой разновидностью колебаний являются гармонические. Координата материальной точки с течением времени при гармонических колебаниях изменяется по закону

x(t) =Acos(wt + j0) (1.3)

где A – амплитуда смещения (максимальное смещение точки от положения равновесия), w – частота, связанная с периодом соотношением

w = 2p / T. (1.4)

Положением равновесия называется месторасположение материальной точки, в котором сумма действующих на нее сил равна нулю.

Аргумент косинуса wt + j0 в функции (1.3) называется фазой колебания. Видно, что фаза является безразмерной величиной и линейной функцией времени. Постоянная величина j0 называется начальной фазой.

Колебания физических систем, приведенных на рис.1.1. – 1.6. совершали бы строго гармонические колебания при следующих дополнительных условиях:

Система 1.1. – при отсутствии сопротивления воздуха, система 1.2. – при отсутствии терния, система 1.3. – при малых углах и отсутствии сопротивления воздуха, системы 1.4. и 1.5. – при отсутствии вязкости жидкости, система 1.6. – при отсутствии активного сопротивления катушки и проводов.

Рассмотрим для простоты сначала одномерные гармонические колебания, когда материальная точка смещается вдоль одной прямой.

Вычислив производную функции (1.3) по времени получим скорость материальной точки:

v(t) = -wAsin(wt+j0) (1.5)

Видно, что скорость является также периодической функцией времени.

Теперь возьмем производную от функции (1.5) по времени и получим ускорение материальной точки.

a(t) = -w2 Acos(wt+j0) (1.6)

Сравнивая функции (1.3) и (1.6) получим что координата и ускорение связанны следующим выражением

a(t) = -w2 x(t),(1.7)

которое выполняется в любой момент времени.

Иначе говоря, при любых одномерных гармонических колебаниях ускорение частицы прямо пропорционально её координате, причем коэффициент пропорциональности отрицательный.

Рис.1.7. Зависимости от времени координаты (кружочки), скорости (квадратики) и ускорения (треугольники) частицы, совершающей одномерные гармонические колебания. Амплитуды А=2, период Т=5, начальная фаза j0=0.

Как известно, ускорение частицы (по основному закону динамики) прямо пропорционально силе, действующей на частицу. Следовательно, если сила прямо пропорциональна координате с обратным знаком, то частица будет совершать гармоническое колебание. Такие силы называются возвращающими.

Важным примером возвращающей силы является сила Гука (упругая сила). Таким образом, если на материальную точку действует сила Гука, то точка совершает гармонические колебания.

Так как мы рассматриваем одномерные колебания, то для анализа задачи достаточно спроецировать вектор силы Гука на ось, параллельную этой силе. Если ноль отсчета координаты x выбран в точке, в которой возвращающая сила равна нулю, то проекция силы равна

Fx = -kx,(1.8)

где коэффициент k называется жесткостью.

Сравнивая уравнения (1.7) и (1.8), и используя 2-й закон Ньютона, получим важное выражение для частоты колебаний:

w2 = k / m(1.9)

Это означает, что частота колебаний описывается параметрами физической системы, а не зависит от начальных условий. В частности, выражение (1.9) определяет частоту гармонических колебаний систем, показанных на рис.1.1. и 1.2.

В качестве поучительно примера рассмотрим одномерные движения, которые совершают грузы, прикрепленные к пружинам (см. рис.1.8).

Рис.1.8. Грузы на пружинах.

Пусть массы пружин пренебрежимо малы по сравнению с массами грузов.

Грузы рассматриваются как материальные точки.

Сначала рассмотрим систему, изображенную на рис.18. а. Предположим, что первоначально груз был смещен влево и, как следствие пружина растянулась. При этом на груз (материальную точку) действуют 3 силы: сила тяжести mg, сила упругости F и сила нормальной реакции опоры N. Трением в данной задаче мы пренебрегаем (см. рис.1.9).

Рис.1.9. Силы на груз, лежащий на гладкой опоре, при растяжении пружины.

Запишем второй закон Ньютона для тела, изображенного на рис.1.9.

ma = mg + F + N(1.10)

Сила упругости при небольших деформациях пружин описывается законом Гука

F = – kd(1.11)

где d – вектор деформации пружины, k – коэффициент жёсткости пружины.

Заметим, что при движении груза растяжение пружины может сменяться сжатием. При этом вектор деформации d будет менять свое направление на противоположное, следовательно, то же будет происходить с силой Гука (1.11). Из этого, в частности, следует, что при начальном сжатии пружины векторное уравнение движение (1.10) будет иметь тот же вид: