Современные методы диагностики тяговых трансформаторов железных дорог и построение экспертной системы для обработки результатов тепловизионной диагностики тяговых трансформаторов ВСЖД (стр. 17 из 25)

5) n-местных функциональных букв:

( называют константными буквами);

6) n-местных предикатных букв (символов):

В дальнейшем в примерах для упрощения будем вместо

писать u, v, x, y, z...;

вместо

- a,b,c,d...; вместо - f,g,h,...; а вместо - P, Q, R, S, T, V, W....

Из символов алфавита можно строить различные выражения. Выделяют термы, элементарные формулы (атомы) и правильно построенные формулы (или просто формулы).

Всякий символ переменной или константной формулы есть терм. Если

- термы, то и является термом.

Если

- предикатная буква, а - термы, то и - элементарная формула (атом). Атом является правильно построенной формулой. Если A и B - правильно построенные формулы, то есть правильно построенные формулы. Если A - правильно построенная формула и x - переменная в A, то и - правильно построенные формулы.

Выражение является правильно построенной формулой, только если оно получено с соблюдением перечисленных выше правил.

В выражениях

и называются областью действия квантора всеобщности (общности) и квантора существования соответственно. При этом переменная x называется связанной, если она находится в области действия квантора, примененного к этой переменной. Переменная свободна, если она не связана. Примером формулы является следующее выражение: . В этой формуле переменная x связана, а переменная y свободна. Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных переменных.

Для того, чтобы придать формуле содержание, ее интерпретируют как утверждение, касающееся рассматриваемой предметной области. Под интерпретацией понимают всякую систему, состоящую из непустого множества D, называемого областью интерпретации, и какого-либо соответствия, относящего каждой предикатной букве

некоторое n-местное отношение в D, а каждой функциональной букве - некоторую n-местную функцию, отображающую , и каждой константной букве - некоторый элемент из D. При заданной интерпретации переменные мыслятся пробегающими область D этой интерпретации. При заданной интерпретации всякой элементарной формуле приписывается значение “истинно” (И) или “ложно” (Л).

Приписывание значения элементарной формуле

осуществляется по следующему правилу: если термы предикатной буквы соответствуют элементам из D, удовлетворяющим отношению, определяемому данной интерпретацией, то значением элементарной формулы будет истина, в противном случае - ложь.

Значение неэлементарной формулы можно вычислить рекуррентно, исходя из значений составляющих ее формул. При этом, если A и B - формулы, то значения формул

определяются по таблице истинности:

_____________________________________________________________

A B

_____________________________________________________________

И И Л И И И

Л И И И Л И

И Л Л И Л Л

Л Л И Л Л И

_____________________________________________________________

Формула

обозначает утверждение: “для любого значения x из области D значение формулы A истинно (выполнено)”, а формула обозначает утверждение: “существует такое значение x из области D, что значение формулы A истинно (выполнено)”. Приведенные выше утверждения могут быть как истинны, так и ложны. В случае конечных областей значения истинность таких формул можно установить с помощью таблиц истинности. Очевидно, что некоторые формулы могут быть истинными или ложными в зависимости от выбранной интерпретации.

Формула A называется выполнимой тогда и только тогда, когда существует интерпретация I такая, что A принимает значение И в I. Если формула A принимает значение И в интерпретации I, то говорят, что I удовлетворяет формуле A.

Если некоторая формула A принимает значение И при всех интерпретациях, то ее называют общезначимой. Так, например, формула

истинна при любой интерпретации (это можно установить по таблице истинности), и, следовательно, эта формула общезначима.

Формула A называется невыполнимой, если при всех интерпретациях она принимает значение Л.

Формула A логически следует из формул

тогда и только тогда, когда всякая интерпретация I, удовлетворяющая , удовлетворяет также и A. Формулы называют посылками, а A - заключением логического следования и обозначают .

Справедлива теорема (теорема дедукции): “Пусть даны формулы

и формула A. Формула A является логическим следствием тогда и только тогда, когда формула общезначима, т.е. ”.

Задачей доказательства теоремы называют выяснение вопроса логического следования некоторой формулы A из заданного множества формул,

, что равносильно доказательству общезначимости формулы или невыполнимости формулы .

Для исчисления предикатов первого порядка не существует общего метода установления общезначимости любых формул, т.е. исчисление предикатов первого порядка является неразрешимым. Однако, если некоторая формула исчисления предикатов общезначима, то существует процедура для проверки ее общезначимости, т.е. исчисление предикатов можно назвать полуразрешимым.

Логические исчисления в большинстве случаев ограничиваются исчислениями предикатов первого порядка. В простейшем случае запись факта имеет вид P(x,y,z,...), где P - отношение, а x,y,z,... - объекты, на которых оно задано. Логические модели представления фактов с помощью предикатов носят название атомарных формул. Кроме них, выделяются правильно построенные логические формулы, включающие кванторы существования и общности (всеобщности).

Приведенные ниже примеры являются логическими моделями представления фактов с помощью предикатов.

Два варианта записи факта: “Михаил дал книгу Владимиру” в виде формулы исчисления предикатов:

ДАТЬ (МИХАИЛ, ВЛАДИМИРУ, КНИГУ );

(ЭЛЕМЕНТ(x, СОБЫТИЕ - ДАТЬ) ИСТОЧНИК(x, МИХАИЛ) АДРЕСАТ(x, ВЛАДИМИР) ОБЪЕКТ(x, КНИГА).

Положительными сторонами логических моделей являются единственность теоретического обоснования и возможность реализации системы формально точных определений и выводов. Представление знаний в виде формул исчисления предикатов позволяет применить к ним формальные методы вывода. В частности, может быть использован метод резолюций, применяемый в системах автоматического доказательства, обучения и автоматического синтеза программ. Кроме того, логическая модель представления знаний поддерживается языком логического программирования Пролог, что делает естественной ее практическую реализацию.