Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты (стр. 1 из 3)
Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты
1. Уравнение передачи по световоду
Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1
 bn2 n1 aРис. 1 |
Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0<r<a) и в оболочке (a<r<b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции внутри сердечника при r=0 должны быть конечными, а в оболочке описывать спадающее поле.
Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид:
(1)Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода:
(2)Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Еz и Hz. Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду
.Тогда, используя соотношение
, а также учитывая, что divH=0, получим 
,где
- волновое число световода.Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим
.Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов Ez и Hz удовлетворяют уравнениям
Где
– оператор Лапласа. 
,Тогда для продольных составляющих Ez и Hz в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:
(3)Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е.
, где А – любая составляющая векторов Е или Н; 
j 
- коэффициент распространения. Тогда первая и вторая производные определятся 
.Для составляющей Еz
.Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим
Введем обозначение
– поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем 
(4)где
(без учета затухания) – поперечное волновое число сердечника; k1 – волновое число сердечника с коэффициентом преломления n1, 
.Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать
(5)где Аn и Вn – постоянные интегрирования.
Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Еr имеем
Возьмем производную от второго выражения по
Учитывая, что
, а 
, то 
Тогда
или 
Подставим данное выражение в уравнение для Еr
или 
.Окончательно получим
.Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля
Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные
Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что
, имеют вид (множитель 
не пишем): 
(6)Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:
где
(без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода; k2 – волновое число оболочки с коэффициентом преломления n2, 
.Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при
поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода – функции Ганкеля: 
где Сn, Dn – постоянные интегрирования.
Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:
(7)Постоянные интегрирования Аn, Вn, Сn, Dn могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник-оболочка (при r=а):
Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:
(8)Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой.
световод уравнение интегрирование волна
2. Типы волн в световодах
В сетоводах могут существовать два типа волн: симметричные E0m, H0m несимметричные дипольные EHnm, HEnm. В индексе n – число изменений поля по диаметру; m – число изменений поля по периметру. Симметричные волны электрические Е0m и магнитные H0m имеют круговую симметрию (n=0).
Раздельное распространение по световоду несимметричных волн типа невозможно. В световоде они существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие Е и Н. Эти волны называются смешанными, дипольными и обозначаются через HЕnm, если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или EНnm, если поле в поперечном сечении ближе к волнам Е.
Из всей номенклатуры смешанных волн в оптических кабелях наибольшее применение получила волна типа НЕ11 (или ЕН10). На этой волне работают одномодовые световоды, имеющие наибольшую пропускную способность
Представляет интерес сопоставить указанную классификацию электромагнитных волн с лучевой классификацией.
Как уже отмечалось, по волоконным световодам возможна передача двух видов лучей: меридиональных и косых. Меридиональные лучи расположены в плоскости, проходящей через ось волоконного световода. Косые лучи не пересекают ось световода.