Электростатика проводников (стр. 2 из 3)
,а изменив порядок дифференцирования. Мы получили бы
. Отсюда видно, что 
(и, аналогично,
). Энергия Uможет быть представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов: 
.Это квадратичная форма должна быть существенно положительной. Из этого условия возникают определенные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты
. В частности, все коэффициенты емкости положительны: 
(а также и
).Напротив, все коэффициенты электростатической индукции отрицательны:
.3. Проводящий эллипсоид
Задача об определении заряженного проводящего эллипсоида решается с помощью эллипсоидальных координат.
Связь эллипсоидальных координат с декартовыми дается уравнением
Это уравнение, кубическое относительно u, имеет три вещественных корня
: 
.Эти три корня и являются эллипсоидальными координатами точки x, y, z. Их геометрический смысл явствует из того, что поверхности постоянных значений
представляют собой соответственно эллипсоиды, однополостные гиперболоиды и двухполюсные гиперболоиды, причем все они софокусны с эллипсоидом 
.Формулы преобразования от эллипсоидальных координат к декартовым получаются путем совместного решения трех уравнений и имеют вид
, 
, 
.Элемент длины в эллипсоидальных координатах имеет вид
, 
,где
Соответственно, уравнение Лапласа в этих координатах есть
Тогда кубическое уравнение
вырождается в квадратное
с двумя корнями, пробегающими значения в интервалах
Координатные поверхности постоянных
и 
превращаются соответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения и однополостные гиперболоиды вращения (рис. 1). В качестве третьей координаты можно ввести полярный угол 
в плоскости 
. 
Рис. 1
Связь координат
с координатами 
дается равенствами 
, 
.Координаты
называются сплюснутыми сфероидальными координатами.При a>b=с эллипсоидальные координаты вырождаются в так называемые вытянутые сфероидальные координаты. Две координаты
и 
задаются корнями уравнения 
причем
. Поверхности постоянных и представляют собой вытянутые эллипсоиды и двуполостные гиперболоиды вращения (рис. 2).Связь координат
, с координатами 
дается формулами 
, 
. 
Рис. 2
Поверхность
в эллипсоидальных координатах – это координатная поверхность
=0. Если искать потенциал поля в виде функции только от , то будут эквипотенциальными все эллипсоидальные поверхности =const, в том числе поверхность проводника. Уравнение Лапласа сводится тогда к уравнению 
откуда
.Зная, что 2А=е, заключаем:
.Откуда
.Распределение плотности заряда по поверхности эллипсоида определяется нормальной производной потенциала
.Легко убедиться в том, что при
=0 
.Поэтому
.Для двухосного эллипсоида интегралы
, 
выражаются через элементарные функции. Для вытянутого эллипсоида (a>b=c) потенциал поля дается формулой
,а его емкость
.Для сплюснутого же эллипсоида (a=b>c) имеем
В частности, для круглого диска (a=b, с=0)
.4. Силы, действующие на проводник
В электрическом поле на поверхность проводника действуют со стороны поля определенные силы.
Плотность потока импульса в электрическом поле в пустоте определяется известным максвелловским тензором напряжений:
Силе же, действующая на элемент df поверхности теле, есть поток «втекающего» в него извне импульса, т.е. равна
. Учитывая, что у поверхности металла напряженность Е имеет только нормальную составляющую, получим 
или, вводя поверхностную плотность зарядов
, 
.Таким образом, на поверхность проводника действуют силы «отрицательного давления».
Полная сила F, действующая на проводник. Получается интегрированием силы
по всей его поверхности: 
Сила, действующая на проводник вдоль координатной оси q, есть
, где под производной надо понимать изменение энергии при параллельном смещении данного тела как целого вдоль оси q. При этом энергия должна быть выражена через заряды проводников (источников поля), и дифференцирование производится при постоянных зарядах. Отмечая это обстоятельство индексом е, напишем