Теория нелинейной теплопроводности (стр. 4 из 5)

При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко.

Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (4.14) при р < 0 увеличивается.

5. Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой

Начнем с рассмотрения задачи

(5.1)

с начальным/граничным условием для уравнения на полупрямой

характеризуемой начальным и граничными условиями

u(x,0)=u0(x) ∞˃x≥0 (5.2)

ux(∞,t)=0 (5.3)

(5.4)

где

– положительная константа, а – интегрируемая функция. Граничное условие (5.4) представляет заданную теплопроводность в начале координат

Введем преобразование годографа

(5.5)

(5.6)

(5.7)

условие совместности которого

гарантировано уравнением (5.1). Используя приведенное выше преобразование, отобразим уравнение (5.1) в линейное уравнение теплопроводности

(5.8)

в области

, где F(t) удовлетворяет соотношению

(5.9)

С помощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные

(5.10)

где z0 в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид

(5.11)

а также граничные условия

(5.12)

(5.13)

Тогда задача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения (5.1) с начальными данными (5.2) и граничными условиями (5.3), (5.4) отображается в линейное уравнение теплопроводности (5.7) в области с движущейся границей, характеризующейся начальным условием (5.9) и граничными условиями (5.11), (5.12). Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности

(5.14)

и проинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности

(5.15)

по области

, а также возьмем . Используя условие (5.12) и тот факт, что , получаем

(5.16)

Из уравнения (5.15) ясно, что можно определить

, если известно граничное условие v(F(t), t); поэтому удобно вычислить (5.15) при . Полагая , получим

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Уравнение (5.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с сингулярным ядром

Подходящий выбор функции f(t) позволяет с помощью уравнения (5.8) получить умеренно сингулярное ядро. Тогда линейное уравнение Вольтерра (5.16) допускает единственное решение в предположении, что G(t) является интегрируемой и ограниченной функцией своего аргумента.

Используя процесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (5.16) можно записать как

(5.20)

Здесь

-ядро резольвенты, задаваемое рядом

(5.21)

Рис. 4

Графическое представление решения

, соответствующего примеру 5.1 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:

(5.23)

Ниже мы численно исследуем четыре примера, соответствующие двум различным выборам функции

в первом случае является константой,

а во втором – линейной функцией времени:

(5.24)

(5.25)

Из (5.23) и (5.24) ясно, что с учетом соотношения (5.8)

является соответственно линейной или квадратичной функцией времени. Мы рассматриваем начальные данные u0(x), совместные с асимптотическим условием (5.2), соответствующим, во первых, функции

(5.26)

Рис. 5

Графическое представление решения

соответствующего примеру 5.2 построенное относительно переменной при фиксированных значениях для различных интервалов:

где

– обычная единичная ступенчатая функция, а во-вторых, функции

(5.27)

где W(x) – W-функция Ламбера, неявно определяемая соотношением

В первом случае с , определяющейся (5.23), наш метод состоит в прямом вычислении функции через явное решение, как это было показано в работе.Затем мы вычисляем функцию в соответствии с выражением (5.15) и окончательно получаем решение , обращая преобразование годографа (5.4)–(5.6). При фиксированном времени t = t* с помощью (5.4) и (5.5) получаем

(5.28)

Тогда из выражения (5.27) мы получаем обратную функцию

и окончательно находим решение исходной задачи:

(5.29)

в соответствии с (5.4).

Рис. 6

Графическое представление решения

соответствующего примеру 5.3 построенное относительно переменной при фиксированных значениях t для различных интервалов:

Если

определяется (5.24), то интегральное уравнение Вольтерра (5.16) не решается в квадратурах, как в предыдущем случае, однако оно должно решаться численно. Решение линейной задачи получается с помощью уравнения (5.15), но, конечно, вычислительные издержки такого алгоритма гораздо больше, чем в предыдущем случае. Интегральное уравнение (5.15) интегрируется численно при использовании неравномерного fixed-mesh-метода, с тем чтобы избежать проблем, связанных с наличием умеренно сингулярного ядра. Как объяснялось выше, после вычисления функции мы, обращая преобразование годографа, получаем решение нелинейной задачи (см. (5.27)и (5.28)).