Теория нелинейной теплопроводности (стр. 3 из 5)
Рисунок 2
Рисунок 2 описывает качественный вид локализованных температурных профилей остановившейся на время тепловой волны в различные моменты времени интервала [0,T). рост температуры в области тепловых возмущений при
. В течение промежутка времени [0,T) тепловые возмущения от нагретой стенки локализованы в пространственной области 
конечных размеров.Решение (3.12) можно назвать остановившейся на конечное время тепловой волной. Качественный вид локализованных температурных профилей такой тепловой структуры в различные моменты времени интервала [0, Т) для среды с показателем нелинейности δ= 2 представлен на рисунке 2.
4. Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением
Рассмотрим еще одну задачу нелинейной теплопроводности, имеющую точное решение в аналитической форме. Пусть в нелинейной среде происходят эндотермические процессы, удельная мощность которых зависит от температуры степенным образом. Нестационарный процесс теплопроводности в такой среде с объемным поглощением теплоты описывается квазилинейным уравнением
(4.1)Здесь u(М, t) - температура; р = const > 0 - параметр поглощения, а значение N = 1, 2, 3 определяет размерность пространства, в котором происходит исследуемый процесс.
Запишем модель задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением, если δ< 1, а показатель степени
. Учитывая симметрию такой задачи (плоскую для N = 1, осевую для N = 2 и центральную для N = 3), сформулируем соответствующую задачу Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности: 
(4.2)где радиальная пространственная координата r≥0 для случаев N = 2 и N = З и
для N = 1. Параметр а2 в уравнении мы положили равным единице, что всегда можно сделать соответствующим выбором масштабов времени или пространственного переменного.С учетом конечной скорости распространения тепловых возмущений в нелинейной среде будем искать решение задачи (4.2) в виде фронтового решения
(4.3)где A(t) и l(t) - функции, подлежащие определению.
Подставив предполагаемую форму решения (4.3) в уравнение (4.2), получим
(4.4)Можно заметить, что это соотношение приводится к виду
(4.5)если предположить, что
т.е.
(4.6)Тогда
(4.7)Так как условие (4.5) должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (4.7) это условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(t):
(4.8)Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (4.3) при
к дельтаобразному начальному распределению необходимо, чтобы 
, а 
при . Разделяя переменные в уравнении (4.8), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим решение.
(4.9)неограниченно возрастающее при
.Теперь, используя соотношение (4.6), для функции l(t) приходим к следующему дифференциальному уравнению:
(4.10)Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В результате получаем
(4.11)Таким образом, с учетом уравнений (4.3), (4.9) и (4.11) решение исходной задачи (4.2) можно записать в форме фронтового решения
(4.12)где
(4.13) 
(4.14)Значение константы С в формуле (4.14) можно найти из соотношения
(4.15)являющегося следствием начального условия задачи Коши (4.2). С учетом выражений (4.12) - (4.14) соотношение (4.15) преобразуется к виду
(4.16)Учитывая, что
а значение интеграла
выражается через бета функцию
из выражения (4.16) находим значение константы
(4.17)Таким образом, точное решение задачи (4.2) имеет вид (4.12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (4.13) и (4.14) с константой С, которая находится по формуле (4.17). Найденное решение допускает предельный переход р
0. Полагая в уравнении (4.14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Для N = 1 это решение было построено нами ранее.Дадим физическую интерпретацию решения (4.12). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где u = 0.
Проанализируем характер движения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (4.14) в виде
(4.18)Где
Качественный вид зависимости (4.18) представлен на рисунке.
Рисунок 3 описывает качественный вид зависимости движения фронта теплового импульса
На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при t = t*, где
фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину.
При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией.