Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области
1. Задача:
Решить уравнение
Решение. Составим и решим систему уравнений характеристик
Уравнение
Отсюда получим второй первый интеграл
Возьмём следующее уравнение
Решим полученное линейное уравнение:
Получим третий первый интеграл
2. Задача
Найти общее решение уравнения
Решение: Составим и решим систему уравнений характеристик
Первый интеграл равен
3. Задача
Решить уравнение
Решение. Составим систему уравнений характеристик
Первая пара дробей даёт первый интеграл
Подставим
Интегрируя последнее уравнение, получим второй первый интеграл
Общее решение имеет вид
4. Задача
Решение задачу Коши
Решение. Найдем два первых интеграла. Составим систему
Отсюда получим первый интеграл
Решая уравнение
Подставим
Исключая
5. Задача
Решить задачу Коши
Решение. Найдем первые интегралы системы уравнений характеристики
Найдём, используя начальные данные, связь между первыми интегралами:
Подставим первые интегралы
6. Решить уравнение
Решение: Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде интеграла Пуассона:
Так как
Полученный результат можно преобразовать к интегралу вероятностей:
Действительно полагая
Таким образом, решение выразится формулой
Графиком функции
Решение: Здесь мы имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид
Или
Полагая
Полагая
Таким образом, решение принимает вид
В курсовой работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, распространение тепла в стержне.
Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны.
Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной курсовой работе не мог быть рассмотрен весь материал.
В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.
1. Н. С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", М., "Наука", 1972, том. 2.
2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер "Курс математического анализа", М., "Просвещение", 1976.
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1972.
4. Владимиров В. С. "Уравнения математической физики", М., "Наука", 1988.