Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 8 из 10)

Таким образом,

,

что и доказывает справедливость свойства (2.6.6).

“Дельта-функция

не является функцией от в соответствии с обычным математическим определением функции, когда требуется, чтобы функция имела определенное значение для любого значения аргумента” [1, с. 90]. Она является обобщенной функцией[1].

Из соотношения (2.6.2) видно, что операция умножения функции от

на с последующим интегрированием по всем возможным значениям эквивалентна замене на . Таким образом, хотя -функция и не имеет строго определенного значения, но если она содержится в качестве множителя в подынтегральном выражении, то сам интеграл строго определен.

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности аналитических функций, например,

(рис. 1). При эта функция осциллирует около нулевого значения с затухающей амплитудой. При . Координату т. А на рис. 1 можно найти из условия , откуда следует , .

Если увеличивать

, т. на рис. 1 будет подниматься вверх по оси ординат. В пределе получится бесконечно узкий и высокий пик, площадь которого должна равняться единице:

При увеличении

функция осциллирует с убывающей амплитудой и с периодом . Быстрые осцилляции при увеличении означают, что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен малой окрестностью точки . Поэтому предел при имеет все свойства -функции: . График функции нарисовать, строго говоря, невозможно. Пришлось бы изображать бесконечно узкий и бесконечно высокий пик в точке , “площадь” под которым конечна и равна единице.

Нетрудно показать, что

. (2.6.7)

(Действительно

), откуда следует соотношение (2.6.7)). Из последнего соотношения получаем:

(2.6.8)

Соотношение (2.6.8) можно рассматривать как разложение

-функции в интеграл Фурье.

Пример. Найти нормировочный множитель волновой функции свободной частицы

. Считать момент времени фиксированным и равным нулю.

Для фиксированного момента времени

. (2.6.9)

Поскольку частица свободна, т.е. движется в неограниченном пространстве,

и нормировка на 1 невозможна. В таком случае применяется нормировка на

-функцию (см. (2.5.6))

Подставляя в последнее соотношение волновую функцию свободной частицы (2.6.9), получим

.

Из соотношения (2.6.8) следует, что

.

Поэтому

; , где -произвольная фаза. При определении плотности вероятности множитель сокращается. Поэтому обычно полагают , тогда .

Часто волновую функцию свободной частицы записывают в виде

,

при

.

При нормировке на

-функцию

или

С другой стороны, согласно равенству (2.6.8)

.

Согласно свойству

-функции (2.6.6)

.

Поэтому

(2.6.10)

и

(с точностью до постоянного фазового множителя). Т.е., если волновая функция свободной частицы нормируется на -функцию от волновых векторов, то ; если нормируется на -функцию от импульсов, то .

2.7 Операторы координаты и импульса

Вид оператора данной физической величины зависит от выбора независимых переменных в функциях, к которым он применяется.

а) Оператор независимой переменной всегда представляет собой операцию умножения на эту переменную. Это вытекает из постулата (в нашем пособии - третьего), согласно которому полученные при измерении значения физической величины совпадают с собственными значениями ее оператора. Например, если в системе с одной степенью свободы независимой переменной является координата

, т.е. , то оператором координаты будет операция умножения на : .

При наличии нескольких степеней свободы следует выяснить, любое ли сочетание физических величин может являться набором независимых переменных. Операторы независимых переменных являются умножением на эти переменные. Поэтому они должны коммутировать (быть коммутативными). Следовательно, в качестве независимых переменных можно брать только такие величины, операторы которых между собой коммутируют.

б) Найдем оператор импульса при условии, что координата является независимой переменной. Как известно, (согласно идеям де Бройля, подтвержденным экспериментально), волновая функция свободной частицы есть монохроматическая волна

.