Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 7 из 10)

Интегрирование производится по всей области значений, которые может принимать величина

.

Естественно считать

вероятностью того, что рассматриваемая физическая величина в состоянии, описываемом функцией имеет значение в интервале от оси до . Как известно, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна равняться единице:

. (2.5.2)

Условие полноты (2.4.7) для системы собственных функций оператора с непрерывного спектра имеет вид

. (2.5.3)

(Сумма величин

заменена интегралом).

Воспользовавшись разложением (2.5.1) преобразуем последнее выражение

.

Тогда условие полноты принимает вид

.

Отсюда следует

. (2.5.4)

(Сравните с (2.4.6)). Подставим интеграл (2.5.1) в (2.5.4):

. (2.5.5)

Это соотношение должно выполняться при любых

, т.е. оно должно выполняться тождественно. Для этого необходимо, во-первых, чтобы интеграл обращался в нуль, если . Во-вторых, при этот интеграл должен обращаться в бесконечность, так как иначе правая часть равенства (2.5.5) будет равна нулю. Таким образом, интеграл зависит от разности . Он обращается в нуль, если разность отлична от нуля и в бесконечность, если она равна нулю. Выражение с такими свойствами называют дельта-функцией Дирака. Она была предложена английским физиком П. Дираком. Обозначим ее .

Тогда

. (2.5.6)

.

Таким образом, условие (2.5.3) будет выполняться, т.е выражение

можно будет интерпретировать как вероятность обнаружить значение физической величины в интервале от до , если собственные функции непрерывного спектра оператора нормированы на -функцию. Кроме того, система функций, удовлетворяющая условию (2.5.6) ортогональна.

(Это следует из свойств

-функции). Формула (2.5.6) является обобщением формулы (2.4.4) на случай непрерывного спектра собственных значений.

2.6 Дельта-функция Дирака

К необходимости введения

-функции П. Дирак пришел при рассмотрении величин, содержащих бесконечности. Она определяется следующим образом:

(2.6.1)

Пределы интегрирования могут быть любые другие, лишь бы точка

находилась между ними.

“Для того, чтобы получить наглядное представление о

, рассмотрим функцию вещественной переменной , которая обращается в нуль повсюду за исключением малого промежутка … , внутри которого находится точка , причем внутри этого промежутка функция настолько велика, что интеграл от нее по промежутку равен единице. Точное поведение функции внутри промежутка несущественно…” [1, с.90].

Наиболее важное свойство

-функции выражается с помощью соотношения

, (2.6.2)

где

- произвольная непрерывная функция от , область интегрирования должна содержать точку . Это свойство вытекает из определения -функции (2.6.1). Действительно, левая часть (2.6.2) может зависеть только от тех значений , для которых аргумент близок к нулю. Поэтому можно заменить на . Тогда из (2.6.1) и (2.6.2) получаем

Если в соотношении (2.6.2) перенести начало координат, получим

, (2.6.3)

где

-действительное число. Область интегрирования включает точку . (Область интегрирования не обязательно должна быть от до . Она должна включать в себя особую точку, в которой -функция не обращается в нуль).

Приведем еще несколько соотношений, выражающих свойства

-функции. Смысл их заключается в том, что если в подынтегральное выражение входит в качестве множителя одна из сторон этих соотношений, то ее без изменения значения интеграла можно заменить другой стороной.

1. Дельта-функция является четной:

. (2.6.4)

2. Часто используют свойство

-функции

. (2.6.5)

Докажем его справедливость. Для этого рассмотрим функцию

. Согласно свойству (2.6.2)

или

.

Поскольку

, имеем

,

откуда и следует свойство (2.6.5).

3. Часто бывает полезным соотношение

(2.6.6)

Для доказательства сначала воспользуемся свойством (2.6.4), а затем введем новую переменную

, :

.

Введем обозначение

. Тогда правую часть последнего соотношения можно переписать следующим образом

.

Согласно свойству (2.6.2) интеграл в правой части равен

, но :

.

Таким образом

.

Но к такому же результату прийдем, рассмотрев интеграл

.