Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 6 из 10)

или (2.4.6)

или (2.4.6а)

Найдем соответствующее им значение погрешности:

Если для любой квадратично интегрируемой функции

в пределе имеет место равенство

,

т.е.

, (2.4.7)

то система собственных функций

называется замкнутой (полной). Поскольку -функция нормирована на единицу, то

. (2.4.8)

Соотношение (2.4.7) называют условием полноты системы собственных функций. Оно означает, что система собственных функций эрмитового оператора достаточна для представления любой

-функции в виде суммы ряда

(2.4.9)

Таким образом, любое состояние, описываемое амплитудой вероятности

, может быть представлено в виде суперпозиции (2.4.9) состояний, являющихся собственными для оператора какой-либо физической величины. Т.е. математическое условие полноты системы собственных функций эрмитовых операторов превращается в физический принцип суперпозиции состояний.

Выражение (2.4.9) аналогично разложению вектора

в бесконечномерном евклидовом пространстве с базисными векторами в ортогональной системе координат . Проекция вектора на направление, задаваемое ортом определяется скалярным произведением

и аналогично выражению (2.4.6). Поэтому собственные функции оператора физической величины называют базисными волновыми функциями, описывающими базисные состояния.

Таким образом, выбор процедуры измерения, т.е. выбор прибора, способного измерить интересующую нас физическую величину (в математической схеме – выбор оператора), являются выбором системы базисных состояний. В математической схеме это аналогично выбору системы координат в евклидовом пространстве. Базисные состояния, соответствующие собственным функциям оператора исследуемой физической величины, характеризуются тем, что в этих состояниях эта физическая величина имеет точно определенное значение. В процессе измерения физической величины, представляемой оператором

, квантовомеханическая система всегда переходит в состояние, собственное для данного оператора, т.е. в базисное.

г) Выясним физический смысл коэффициентов

. Представим - функцию характеризирующую состояние системы в виде суммы ряда (2.4.9) собственных функций оператора . Затем подставим эту сумму в выражение (2.1.1), определяющее среднее значение физической величины:

.

Подействуем оператором

на суперпозицию состояния, стоящую справа. Используя уравнение собственных значений

получаем:

Перемножаем скобки и представляем выражение как сумму интегралов вида

.

Поскольку собственные функции эрмитовых операторов ортонормированы, т.е.

(см. формулу (2.4.4)), получаем

. (2.4.10)

Из соотношений (2.4.8) и (2.4.10) следует, что квадрат модуля коэффициента

определяет вероятность того, что в результате измерения физической величины в состоянии мы получим значение , соответствующее собственной функции .

Таким образом, аналогично тому, как

есть плотность вероятности локализации квантовомеханической системы в точке , есть плотность вероятности того, что при измерении физической величины реализуется значение . Т.е. есть амплитуда вероятности (волновая функция), если независимой переменной является величина . В первом случае ( ) говорят о координатном представлении, во втором – об -представлении.

2.5 Операторы с непрерывным спектром собственных значений

Если оператор имеет непрерывный спектр собственных значений, то собственные функции нельзя перенормировать числами 1, 2, 3,…. Они зависят от собственных значений как от параметра. Если оператор обозначаем буквой

, а собственные значения - , то можно записать

(Для простоты рассуждений независимой переменной считаем координату

). Собственные функции нельзя нормировать на единицу, как в случае дискретного спектра. Интеграл расходится, так как не обращается быстро в нуль на бесконечности. Реальные системы, т.е. системы с конечными радиусом действия, находятся в ограниченной области пространства и имеют дискретный спектр энергии. Следовательно, волновые функции возможных состояний достаточно быстро убывают к нулю вне этой области. Поэтому для таких систем всегда имеет конечное значение и собственные функции операторов с дискретным спектром всегда можно нормировать на единицу. Если же квантовомеханическая система находится в состоянии , то она совершает неограниченное (инфинитное) движение во всем пространстве. Это движение характеризуется определенным значением физической величины . Например, волновая функция свободной частицы, движущейся вдоль оси и имеющей импульс имеет вид

Соотношения, описывающие свойства собственных функций дискретного спектра, обобщаются на случай непрерывного спектра. Подобно тому, как произвольная функция

может быть представлена в виде суммы ряда собственных функций оператора с дискретным спектром, она может быть разложена также и по полной системе собственных функций оператора с непрерывным спектром. Только сумму следует заменить интегралом

. (2.5.1)