Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 5 из 10)

Собственные значения оператора, сопоставляемого данной физической величине, являются теми значениями этой величины, которые реализуются в процессах измерения.

Это утверждение (3-й постулат) имеет очень большое значение для физической интерпретации математического аппарата квантовой механики. Требование, чтобы собственные функции оператора удовлетворяли стандартным условиям часто ограничивает возможные значения физической величины. Учет этих требований приводит к дискретному спектру собственных значений. Таким образом, мы имеем дело с математическим отображением процесса квантования в физике.

2.4 Свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов

а) Докажем, что собственные значения самосопряженных операторов являются действительными числами.

Доказательство. Напишем уравнение собственных значений

и комплексно с ним сопряженное

Умножим левую и правую часть первого уравнения слева на

, второго на и проинтегрируем их по всей области изменения независимых переменных

,

.

Поскольку операторы самосопряженные, левые части этих равенств одинаковы (см. соотношение (2.1.2)). Вычитая почленно второе соотношение из первого, получаем

.

Поскольку функции квадратично интегрируемы и интеграл в левой части, по условию нормировки, равен единице, получаем

или . Это означает, что собственные значения самосопряженных операторов – действительные числа. Поэтому в квантовой механике могут использоваться только самосопряженные операторы – при измерении физических величин можно получить только действительные значения.

б) Докажем, что собственные функции самосопряженных операторов, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны. Для определенности принимаем, что спектр собственных значений оператора дискретный и вырождение отсутствует.

Доказательство. Напишем уравнения собственных значений для операторов

и :

,

,

Умножаем левую и правую часть на

слева, второго – на справа и интегрируем по всей области изменения независимых переменных:

,

.

Вычитаем почленно второе уравнение из первого и, учитывая эрмитовость оператора

, (см. равенство (2.1.4а)), получаем

(2.4.1)

Если

, то и из этого соотношения следует

(2.4.2)

или

, (2.4.2а)

что и требовалось доказать. Если

, скобка в соотношении (2.4.1) равна нулю, а интеграл, по условию нормировки, должен равняться единице:

(2.4.3)

Формулы (2.4.2) и (2.4.3) можно объединить в одну

, (2.4.4)

или

, (2.4.4а)

где

- символ Кронекера,

Аналогичное соотношение имеет место для ортов прямоугольных координатных осей в евклидовом пространстве:

.

Функции, удовлетворяющие условию (2.4.4) называют ортонормированными.

Физический смысл ортогональности собственных функций

и оператора заключается в том, что при измерении физической величины в этих состояниях мы обязательно получим разные значения: - в состоянии , - в состоянии . В дальнейшем мы вернемся к обсуждению значения ортогональности собственных функций эрмитовых операторов в структуре квантовой теории.

в) Докажем, что совокупность собственных функций эрмитового оператора является полной (замкнутой) системой. Это означает, что не существует еще какой-то другой функции, которая была бы ортогональна к собственным функциям данного эрмитового оператора.

Доказательство. Пусть

- собственные функции оператора с дискретным спектром собственных значений, а - произвольная квадратично интегрируемая функция. (Для простоты рассуждений независимой переменной будем считать координату х).

Разложим

-функцию в ряд по собственным функциям :

. (2.4.5)

Сумма в правой части равенства содержит

первых членов разложения, - остаток. Коэффициенты нужно определить так, чтобы получить возможно меньшую погрешность (остаток). Мера погрешности:

.

Так как собственные функции ортонормированы, интеграл в правой части можно преобразовать следующим образом:

квантовый механический система функция импульс

.

Будем искать минимум

, приравнивая нулю производные по и . Из условия минимума, учитывая ортонормированность собственных функций , получаем следующие выражения для этих коэффициентов: