Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 4 из 10)

(2.1.4)

или в интегральной форме

. (2.1.4а)

Самосопряженным называется оператор, если он равен своему сопряженному:

= .

Из соотношения (2.1.4) следует, что для самосопряженного оператора и произвольной пары функций

и должно выполняться равенство:

(2.1.5)

или

(2.1.5а)

Пример.Найти оператор, сопряженный с

. Является ли этот оператор самосопряженным?

Подставим оператор

в левую часть равенства (2.1.4а) и проинтегрируем полученный интеграл по частям:

.

Так как

,имеем

.

Сравнивая это соотношение с (2.1.4а), получаем

. В данном случае , поэтому оператор не является самосопряженным.

2.2 Алгебраические действия с операторами

Имея в распоряжении несколько простых операторов можно получить из них более сложные.

Суммой операторов

и называют оператор , который определяется следующим образом:

.

Символически это записывается так:

.

Например,

Произведением операторов

и будем называть оператор , который определяется следующим образом:

,

причем на функцию сначала действуем ближайшим к ней оператором, а потом на полученный результат – следующим,

.

Символически произведение операторов записывается в виде

.

Например,

. Подействуем произведением этих операторов на функцию :

.

Если действие одного и того же оператора повторяется n раз, это записывается в виде степени этого оператора:

.

Например,

.

Произведение операторов зависит от порядка множителей. Например, если

, то Но . Очевидно, что в этом случае . Таким образом, операторы, вообще говоря, являются некоммутативными (неперестоновочными). Если , то операторы называют комутирующими. В этом случае . Выражение называют коммутатором.

2.3 Собственные функции и собственные значения оператора

В результате действия оператора

на функцию иногда получается та же самая функция, умноженная на некоторое число а:

(2.3.1)

Например,

.

Если имеет место уравнение (2.3.1) и функции

удовлетворяют стандартным условиям (конечность, непрерывность, однозначность), то называют собственной функцией оператора , а число – его собственным значением, соответствующим данной собственной функции . Соотношение (2.3.1) называют уравнением собственных значений оператора. Совокупность чисел , при которых это уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, называют спектром собственных значений оператора. Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным множеством. Если спектр собственных значений дискретный, то собственные функции и собственные значения нумеруют:

, n= 1, 2, 3,…

Число n называют квантовым.

Иногда одному и тому же собственному значению соответствует несколько собственных функций. В таком случае говорят, что собственное значение является вырожденным. Число разных функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению, называют кратностью вырождения.

Перейдем к физической интерпретации рассмотренных выше математических понятий. Отклонение физической величины A от ее среднего значения

есть: . Введем оператор, соответствующий этой величине: . Тогда по формуле (2.1.1) можно найти среднее квадратичное отклонение физической величины от ее среднего значения в состоянии :

.

Пользуясь самосопряженностью операторов квантовой механики, преобразуем интеграл в правой части этого соотношения:

,

следовательно

(2.3.2)

Теперь мы имеем возможность найти состояния, в которых физическая величина А имеет точно определенное значение. В таких состояниях среднее квадратичное отклонение должно равняться нулю, т.е.

. Следовательно,

=0.

Поскольку под интегралом находится положительная величина, последнее равенство возможно при условии

, т.е. или

(2.3.3)

Так как в состоянии

, удовлетворяющем уравнению (2.3.3) физическая величина точно определена, она равна своему среднему значению. Обозначая это значение физической величины буквой а, можем записать = и . Т.е. является собственным значением оператора , соответствующим собственной функции . Таким образом, в состоянии, которое описывается собственной функцией оператора ,соответствующая физическая величина имеет точно определенное значение, равное собственному значению этого оператора. Если же -функция, описывающая состояние системы, не является собственной функцией оператора физической величины, то при ее измерении в этом состоянии будем получать различные значения из спектра собственных значений данного оператора. Это утверждение обычно формулируют в виде одного из постулатов квантовой механики.