Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 10 из 10)

Подставим оператор

в левый интеграл соотношения (2.5а) и преобразуем его, пользуясь эрмитовостью операторов и :

(2.5б)

Аналогично преобразуем интеграл, стоящий в правой части соотношения (2.5.а):

(2.5в)

В процессе преобразования мы сначала воспользовались свойством эрмитовости операторов

и , а затем поменяли местами функции стоящие под знаком интеграла.

Сравнивая соотношения (2.5б) и (2.5в) приходим к выводу, что для оператора

условие (2.5а) выполняется. Следовательно, если и эрмитовы операторы, то оператор также эрмитов.

2.6. Доказать, что

.

Решение.

. Подействуем оператором на функцию :

Следовательно,

и .

2.7. Доказать, что если операторы

и коммутируют, т.е. , то и операторы и также коммутируют.

Решение.

После умножения и сокращения одинаковых величин получаем

.

Таким образом, если

, то и .

2.8. Доказать, что интеграл

можно преобразовать в трехчлен , где - произвольный вещественный параметр, и, следовательно (см.упр.2.7), .

Решение.

(2.8)

Пользуясь эрмитовостью оператора

преобразуем первый интеграл в правой части равенства:

.

Аналогичным образом преобразуем четвертый интеграл:

.

Второй и третий интегралы преобразуем, пользуясь самосопряженностью операторов

и .

Объединим второе и третье слагаемое в правой части соотношения в (2.8) в один интеграл. Получаем

. Умножив и разделив это выражение на имеем

.

Таким образом

,

что и требовалось доказать.

2.9. В состоянии квантовомеханической системы, описываемом заданной волновой функцией

, физическая величина имеет определенное значение. Имеет ли в этом состоянии определенное значении также и величина в случае, если операторы и : 1) не коммутируют, 2) коммутируют.

2.10. Найти собственные значения и нормированные собственные функции следующих операторов:

а)

,

б)

,

в)

.

2.11. Найти собственные функции оператора координаты (в координатном представлении).

Решение. Уравнение собственных значений для оператора

имеет вид

,

где,

- собственная функция, соответствующая собственному значению . Очевидно, что , если . Воспользуемся свойством -функции (2.6.5): . Напишем это соотношение для аргумента :

.

Раскрывая скобки, получаем

или . Следовательно, собственная функция оператора , соответствующая собственному значению есть .

Литература

1. Дирак П. Принципы квантовой механики.–М: Наука, 1979.

2. Вакарчук І. О. Квантова механіка: Підручник.– Львів: ЛДУ ім.. І. Франка, 1998.

3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1983.

4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.

6. Юхновський І.К. Квантова механіка. Київ: Либідь, 1995.

7. Федорченко А.М. Теоретична фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2.

8. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

9. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Из-во иностр. лит., 1959.

10. Мессиа А. Квантовая механика: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1.

11. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: «Высшая школа», 1991.

12. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.

13. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.

14. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, М.:1982.

[1] Об обобщенных функциях см. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. М., 1958