Перехiднi процеси в лiнiйних електричних колах. Класичний метод аналізу перехідних процесів (стр. 2 из 3)

а) б)

Рисунок 1

Диференцiйному рiвнянню (5) вiдповiдає характеристичне:

. Це рiвняння має єдиний корiнь , який є дiйсним вiд'ємним числом. Iнакше, , де стала має вимiрнiсть часу. Вона зветься сталою часу кола ([t] = [RC] = Ом´Ф = Ом´А´с/В = с).

Отже, загальний розв'язок рiвняння (5) такий:

. (6)

Коефiцiєнт A розраховується з початкових умов з використанням закону комутацiї. За формулою (6)

; згiдно з законом комутацiї за ненульових початкових умов . Тобто A = E, i (6) приймає вигляд .

Знайдемо струм у колi та спад напруги на опорi:

; , де .

Вiдповiднi графiки зображено на рис.2а. З рисунку видно, що згiдно з другим законом Кiрхгофа, в будь-який момент часу алгебраїчна сума спадiв напруг у колi дорiвнює нулю. Розглянемо змiст сталої часу. Якщо

, то ; . Отже, стала часу t дорівнює інтервалу часу, за який напруга i струм в колi RC зменшуються за абсолютною величиною в режимi вiльних коливань у e = 2,72 разiв.

а) б)

Рисунок 2

Стала часу електричного кола - величина, що характеризує електричне коло з одним iнерцiйним елементом (iндуктивнiстю чи ємнiстю) i дорiвнює довжинi пiддотичної до кривої вiльної складової перехiдного струму. Дiйсно,

. Графiк функцiї зображено на рис.2б, а чисельнi значення наведено у таблицi 2.

Таблиця 2

	1	2	2,3	3	4,6
	0,368	0,136	0,1	0,05	0,01

Iз знайдених рiшень виходить, що процес зменшування напруги та струму продовжується нескiнченно, але практично вiльнi коливання вважають закiнченими при

, коли або при , коли . Вважатимемо, що тривалiсть перехiдного процесу становить .

Для наочного уявлення про характер перехiдних процесiв у ЛЕК прийнято коренi характеристичного рiвняння зображати точками на комплекснiй площинi.

4.2 Увiмкнення джерела постiйної напруги до кола RC

Знайдемо закони змiнювання струму i напруги для кола (рис.1а). Увiмкненню джерела E вiдповiдає зміна положення перемикача S: 2®1. При цьому маємо нульовi початковi умови:

. Згiдно з другим законом Кiрхгофа:

; . (7)

За класичним методом розв’язок однорiдного диференцiйного рiвняння (7) шукаємо у виглядi

.

Знаходимо характеристичне рiвняння:

; .

Загальний розв’язок (7) (або вiльна складова) збiгається з (6). Оскiльки при t®¥ конденсатор заряджається до рiвня E, то вимушена складова

.

Тодi

. (8)

Для визначення сталої A складемо систему рiвнянь:

.

Згiдно з законом комутацiї

. Тодi , . Отже, за нульових початкових умов маємо (рис.3а):

; ; .

а) б)

Рисунок 3

4.3 Вiльнi коливання у колi RL

Розв'яжемо задачу аналiзу вiльних коливань у колi RL (рис.1б) за начальної умови

. Згiдно з другим законом Кiрхгофа

; . (9)

Рiвняння (9) аналогiчне рiвнянню (5) i дуальне до останнього вiдносно шуканої змiнної. Вiдповiдне характеристичне рiвняння

має єдиний корiнь ( ), який є дiйсним вiд'ємним числом. Тому загальний розв’язок (9) матиме вигляд:

. (10)

Значення сталої A отримуємо з початкових умов i рiвняння (10):

, , тоді . Отже,

; ; .

Стала часу t має той же змiст, що i у колi RC (рис.3б).

4.4 Увiмкнення джерела постiйної напруги до кола RL (рис.4а)

Початковi умови нульовi:

. Згiдно з другим законом Кiрхгофа (пiсля переведення перемикача до положення ”1”) виконується рівність:

. (11)

За класичним методом розв’язок (11) шукаємо у виглядi

.

Записуємо характеристичне рiвняння:

, .

Вiльна складова збiгається з (10):

Оскiльки при t®¥ струм у колi

(для постiйного струму iндуктивнiсть еквiвалентна короткому замиканню), то . Тодi .

Визначаємо A:

; ; .

Отже, маємо:

; ;

.

Вiдповiднi графiки зображено на рис.4б.

Тривалiсть перехiдного процесу практично оцiнюється за тими самими критерiями, що й у колi RC.

а) б)

Рисунок 4

4.5 Увiмкнення джерела синусоїдної дiї до кола RC

Розв'яжемо задачу аналiзу коливань для кола RC (рис.5а) при синусоїднiй дiї

. У положеннi 2 перемикача S визначаються початковi умови: ; у положенні 1 коло замикається.