Електричні кола при синусоїдній дії (стр. 2 из 3)
у тригонометричнiй -
;в алгебраїчнiй -
,де
- дiйсна частина; 
- уявна частина комплексного числа.Очевидно, що
; 
.Вектор, який обертається у додатному напрямi (тобто проти годинникової стрiлки) з кутовою швидкiстю
, можна подати як 
, (2)де
- комплексна амплiтуда; 
- оператор повороту (обертання).Отже, комплексна амплiтуда синусоїдного струму (напруги) - це комплексна величина, модуль та аргумент якої дорiвнюють вiдповiдно амплiтудi та початковiй фазi синусоїдного струму (напруги).
Комплексна амплiтуда не залежить вiд часу, тобто є нерухомим вектором. Множення комплексної амплiтуди
на означає поворот вектора на комплекснiй площинi у позитивному напрямi.Записуючи комплексно-часову функцiю (2) у тригонометричнiй формi
,бачимо, що синусоїдна функцiя i (t) може розглядатися як уявна частина (2) або як проекцiя вектора
на уявну вiсь: 
.Позначення Im означає, що застосовується уявна частина ("image").
Аналогiчно косинусоїдна функцiя може розглядатися як дiйсна частина або проекцiя на дiйсну вiсь:
.Символ Re означає операцію взяття дiйсної частини ("real").
Подання синусоїдної функцiї за допомогою векторiв та їх проекцiй iлюструється на рис.5.
Рисунок 5
4. Синусоїдний струм в опорi
Розглянемо коло з резистором, який має активний опiр R. Нехай у колi протікає струм
. Тодi за законом Ома напруга на затискачах резистора становить: 
.Як бачимо,
; 
, тобто напруга i струм у колi з активним опором збiгаються за фазою.Крiм того, при проходженнi синусоїдного струму крiзь опiр не тiльки миттєвi значення, але й амплiтуди та дiючi значення пов'язанi за законом Ома:
; 
.Подамо миттєвi значення напруги та струму через комплекснi амплiтуди:
; 
.Пiдставимо цi значення до виразу
: 
.Якщо рiвнi мiж собою реальнi частини, то рiвнi й вектори:
. Скоротивши на множник 
, матимемо 
- (3)закон Ома в комплекснiй формi.
Запишемо комплекснi дiючi значення струму та напруги:
; 
.На рис.6 зображено вектори
, 
, , 
на комплекснiй площинi. 
Рисунок 6
Визначимо миттєву потужнiсть, яка витрачається в опорi. При цьому врахуємо, що
. 
.Оскiльки
, отримуємо 
.Залежнiсть миттєвих значень u, i, p від t (або
) показано на рис.7. Визначимо активну потужнiсть P, яка дорiвнює середньому за перiод значенню миттєвої потужностi: 
.Другий iнтеграл дорiвнює нулю, оскiльки на iнтервалi часу, що кратний перiоду, додатнi та вiд'ємнi площi синусоїдної функцiї однаковi.
Рисунок 7
5. Синусоїдний струм в iндуктивностi
Нехай через iндуктивнiсть протiкає струм
. ЕРС самоiндукцiї визначається за формулою 
.Оскільки
, матимемо 
.Цей вираз дозволяє зробити такi висновки:
1)
; 
, отже напруга випереджає струм в iндуктивностi на кут 
;2) амплiтуди, так само як i дiючi значення напруги та струму, пов'язанi законом Ома:
; 
.Величина
, яка має розмiрнiсть опору, зветься iндуктивним опором; обернена до неї величина 
зветься iндуктивною провiднiстю. Тодi 
; 
.Миттєва потужнiсть, яка надходить до iндуктивностi, становить:
.Очевидно, що активна потужнiсть P = 0 (як середнє значення синусоїдної функцiї на iнтервалi часу T). Визначимо енергiю магнiтного поля в iндуктивностi:
.(Замiна змiнних у межах: при
, 
; при 
, 
).Отже
.Залежностi миттєвих значень u, i, p,
в iндуктивностi за часом зображено на рис.8. Проаналiзуємо цi часовi дiаграми: протягом першої чвертi перiоду (вiдлiк вiд точки t*), коли струм у колi збiльшується, має мiсце заряд iндуктивностi, тобто накопичення енергiї в магнiтному полi за рахунок джерела. Миттєва потужнiсть при цьому додатна i досягає максимального значення 
. 
Рисунок 8
У момент часу
( 
) енергiя, накопичена в магнiтному полi, також досягає максимального значення 
. Пiсля цього впродовж другої чвертi перiоду вiдбувається зменшення струму та миттєвої енергiї, тобто розряд iндуктивностi; миттєва потужнiсть у цi моменти вiд'ємна. Оскiльки енергiя в системi не витрачається (P = 0), то зменшення означає, що енергiя повертається до джерела. Далi процес повторюється. Таким чином, вiдбувається коливання енергiї мiж джерелом та iндуктивнiстю, причому активна потужнiсть, яка надходить до iндуктивностi, дорівнює нулю.