Численное решение уравнения Шредингера средствами Java (стр. 2 из 7)
Решение. Между функциями
и 
имеются два взаимно обратных соотношения. 
(2.1) 
(2.2)Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения
и применить к нему операцию 
, то с учетом определения 3-мерной 
-функции, 
,в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).
Положим далее
,(2.3)тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь
(2.4)Предполагая, что волновая функция
удовлетворяет уравнению Шредингера 
(2.5)Подставляя сюда вместо
и 
соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем 
В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной
к интегрированию по переменной 
, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством . Интеграл по обращается в нуль при любом значении 
лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда 
.(2.6)Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала
в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал 
должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как 
, где 
.Необходимо отметить, что из условия нормировки
(2.7)следует равенство
.(2.8)Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции
: 
.Если здесь сначала выполнить интегрирование по
, то мы без труда получим соотношение (2.8).[2]2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера
2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера
В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.
Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид
(3.1)где
оператор полной энергии системы. Для одномерного случая 
Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде
(3.2)где
- волновая функция системы в момент времени 
- оператор эволюции (пропагатор).Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора
. Так, в случае дискретного спектра 
выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид 
(3.3)Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.
Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции
. Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему 
,(3.4)здесь
номер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты 
и 
. Кроме того, для оценки действия оператора на функцию 
нужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной 
(3.5)дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)[3]
2.2 Преобразование Фурье
Начнем с комплексного ряда Фурье
Рассмотрим случай L
.Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим 
и 
=g(y).Так как 
возрастает каждый раз на единицу ,то 
где 
.Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид
(4.1)