Ідеальна оптична система (стр. 2 из 2)
а = -(f'/f) b2. (16)
На підставі виразів (15) і (16) можна записати:
gb = -f/f; (17)
ga = b. (18)
Рівняння (18) установлює зв'язок між трьома збільшеннями b, g і a . При f' = -f
gb = 1; (19)
a = b2.(20)
3. Побудова і розрахунок ходу променів крізь ідеальну оптичну систему
У практичній роботі конструкторів оптичних приладів досить широко використовуються властивості кардинальних елементів і основні математичні залежності ідеальної оптичної системи. Графічне розв’язання задач дозволяє найбільш наочно знайти оптимальний варіант. Чотири способи побудови ходу променів крізь позитивну і негативну оптичні системи зображено на рис. 8. Побудови виконані з припущень, що оптична система розташована в однорідному середовищі, тобто n= n', f = -f, а отже, вузлові N, N' і головні Н, Н' точки збігаються. Дамо деякі пояснення до рис. 8. Точки, загальні для заданого і допоміжного променів у передній фокальній площині, умовно позначені буквою C, а точки, загальні для тих же променів у задній фокальній площині, позначені відповідно через С'. Промені, що виходять із точок C, після проходження системи будуть рівнобіжними між собою. Якщо головні площини зливаються (система тонка), то побудови будуть простіші.
Рисунок 7- Чотири способи побудування ходу променів крізь розташовану в однорідному середовищі оптичної системи
Часто оптичні системи складаються з великого числа окремих компонентів, що вилучений один від одного на значні відстані. У цьому випадку багато задач геометричної оптики зручніше розв’язувати шляхом розрахунку ходу променів. Наприклад, у центрованих оптичних системах положення зображення предмета, перпендикулярного до оптичної осі, можна визначити шляхом розрахунку променя, що проходить крізь вісьову точку А цей предмет. Положення променя, що виходить із точки А і падаючого на висоті h на оптичну систему (див. рис. 6), визначається кутом а з оптичною віссю. Знайдемо кут а'. Згідно з рис. 6 маємо
а = h/tg s іа' = h/tg s'.
Поставивши а й а' у формулу відрізків (4), після перетворення одержимо
tg s' = (-f/f¢) tg s + hФ/n',
де Ф = n'/f' називають оптичною силою системи.
Останню формулу називають формулою кутів. У загальному вигляді для системи з декількох компонентів вона має такий вигляд:
tg sk+1 = (-fk/f'k) tg sk + hkФ/nk+1. (21)
У формулі (21) відношення -fk¢/f¢ можна замінити відношенням показників переломлення, тоді
tg sk+1 =
tg s + hkФk/nk+1 (22)Якщо оптична система знаходиться в повітрі, то з (22) випливає, що
tg sk+1 = tg sk + hk Фk. (23)
Висоти h падіння променів на компоненти залежать від кутів, а також від відстаней між цими компонентами:
hk+1 = hk – dk tg sk+1. (24)
Рівняння (24) називають формулою висот. Послідовно застосовуючи формули кутів і висот, можна розрахувати хід променів крізь ідеальну оптичну систему будь-якої складності.
4. Багатокомпонентні оптичні системи. Еквівалентна фокусна відстань
У практиці розрахунку оптичних систем велику роль відіграють двокомпонентні системи (рис. 9). Розглянемо дію такої системи за умови, що фокусні відстані компонентів і їхнє взаємне розташування відомі. Визначити положення фокальних і головних площин системи, що по своїй дії еквівалентна будь-якому числу заданих компонентів, можна шляхом розрахунку променів, рівнобіжних оптичний осі, у прямому і зворотному ході.
Послідовно застосовуючи формули кутів (21) і висот (24) для двокомпонентної системи, одержимо
tg s1 = 0; tg s2 = h1Ф1/n2;
h2 = h1 [1 -(Ф1/n2 )d];
tg s = h1 [
].Еквівалентна фокусна відстань системи
f¢ = h1/tg s3.
Тоді
Рисунок 8- Система з двох компонентів
n3/f¢ = Ф1 + Ф2 - (Ф1Ф2/n2)d.
Відношення n3/f є оптичною силою Ф усієї системи, тому
Ф = Ф1 + Ф2 - (Ф1Ф2/n2)d. (25)
Відстань від другого компонента до еквівалентного заднього фокуса системи а'F¢ = h3/tgs3, або
А¢F' = f¢[1-(Ф1/n2 )d], (26)
а відстань від цього компонента до задньої головної площини системи
а¢H¢ = а'F¢ - f¢. (27)
З розрахунку ходу променяв зворотному ході, тобто з права на ліво, відповідно до формул (21) і (24) одержимо, що
-n/f = Ф = Ф1 + Ф2 – (Ф1Ф2/n2)d;
aF = f(1 - (Ф2/n2)d); (28)
aH = aF – f.
Якщо обидва компоненти оптичної системи знаходяться в однорідному середовищі, наприклад у повітрі, то
Ф = -1/f = 1/f¢ = Ф1 + Ф2 – Ф1Ф2d;
aF = f(1- Ф2d);
aH = aF - f;(29)
а¢F¢ = f' (1 – Ф1d);
a¢H¢ = a¢F¢ - f¢.
Для трикомпонентної системи, усі компоненти якої знаходяться в повітрі, еквівалентну оптичну силу Ф і відрізок а¢F¢- визначають за такими формулами:
Ф = Ф1 + Ф2 + Фз - (Ф2 + Фз) Ф1d1- (Ф1 + Ф2 - Ф1Ф2d1) Ф3d2;
a'F¢ = (1/Ф) [1 – Ф1(d1 + d2) – Ф2d2 (1 – Ф1d1)].
Якщо в розглянутій системі компонента стикаються (d1 = d2 = 0), то оптична сила
Ф = Ф1 + Ф2 + Фз,
а відрізок а¢F¢ дорівнює еквівалентній фокусній відстані системи f'.
Знайти параметри еквівалентної системи можна графічно шляхом побудови ходу променя, рівнобіжного оптичній осі, у прямому і зворотному напрямках.
5. Параксіальна область оптичної системи. Параксіальні і нульові промені
Реальні оптичні системи, що складаються зі сферичних і плоских заломлюючих і поверхонь, що відбивають, у загальному випадку не дають стигматичних зображень, тобто не задовольняють положенням ідеальної оптичної системи, Замість точкових зображень виходять кола розсіювання, Гомоцентричність пучка променів зберігається тільки за умови, що кути s і e, утворені реальними променями з оптичною віссю і з нормаллю до поверхні, нескінченно малі. При нескінченно малих кутах s, e, а отже, і s', e' справедливі такі вирази:
sin s/sin s' »s/s' = s'/s » const; (30)
для сферичної заломлюючої поверхні
n'/s' - n/s = (n' - n)/r: (31)
для плоскої заломлюючої поверхні
n'/s' - n/s = 0;(32)
для сферичної поверхні, що відбиває
l/s' + 1/s = 2/r. (33)
У виразах (30)-(33) відрізки s і s' визначають відповідно положення осьової предметної точки і її зображення щодо поверхні. Як видно з (30)-(33), відрізок s' залишається постійним для заданого відрізка s, тобто всі промені, що виходять із предметної точки під будь-якими, але малими кутами, після переломлення перетинаються в одній точці - точці зображення. Промені, що утворять малі кути s і s' з оптичною віссю і малі кути e й e' з нормаллю до заломлюючої поверхні, називають параксіальними променями, а область біля осі, усередині якої поширюються ці промені, - параксіальною областю. Кути s і s' для параксіальної області позначають a і a'. Співвідношення (31)-(38) називають рівняннями параксіальних променів і використовують для розрахунку ходу променів.
Для зручності виконання розрахунків вводиться поняття нульових променів. Нульовим променем називають фіктивний промінь, що переломлюється (віддзеркалюваний) так само, як і параксіальний, на поверхнях, але зустрічається з ними на кінцевих відстанях від оптичної осі і відтинає на оптичній осі ті ж відрізки, що і параксіальний промінь.
Шляхом розрахунку ходу нульового променя через оптичну систему визначають фокусні відстані і фокальні відрізки, а також положення зображення і лінійне збільшення системи для випадку, коли предмет знаходиться на кінцевій відстані.
Формули для розрахунку ходу нульового променя:
; (34)1hk+1= hk– dktgsk+.1
З виразу (34) одержимо формулу радіуса:
яку використовують для обчислення радіусів поверхонь при заданому ході променя. Для спрощення написання у формулах (34), (35) tg s рекомендується заміняти s.
6. Положення головних площин. Фокусні відстані заломлюючої поверхні в параксіальній області
У параксіальній області для реальних центрованих оптичних систем справедливі усі формули і положення ідеальної оптичної системи. Представимо малий предмет як би накладеним на поверхню в її вершини. Очевидно, що зображення цього предмета по положенню і розміру збігається із самим предметом. Отже, у вершині поверхні О (рис. 10) знаходиться сполучена пара сполучених точок, лінійне збільшення в який дорівнює одиниці, тобто, тут знаходяться співпадаючі головні точки заломлюючої поверхні. Головні площини збігаються і лежать у площині, дотичної до сфери в точці 0. Якщо предметну точку А переміщати уздовж оптичної осі так, щоб вона вилучилася в нескінченність, то точка А' збігається з заднім фокусом F' заломлюючої поверхні, тобто
s = -¥; s' = f'. (36)
Підставивши (36) у (31) і розв’язавши отриманий вираз відносно f', одержимо формулу для визначення задньої фокусної відстані заломлюючої поверхні:
f' = n'r/(n' - n). (37)
Рисунок 9- Схема для знаходження фокусних відстаней сферичної поверхні радіусом r
При переміщенні точки А' уздовж осі в нескінченність сполучена точка А збігається з переднім фокусом F поверхні, тобто
s = f;s' = ¥. (38)
З огляду на вираз (38), з формули (31) знайдемо вираз для передньої фокусної відстані сферичної поверхні:
f = nr/(n'- п). (39)
Розділивши (37) на (39), одержимо
f'/f = n'/n.(40)
Цей важливий вираз записано тут для однієї заломлюючої поверхні, але воно справедливо і для будь-якої складної оптичної системи.