Переходные и свободные колебания (стр. 1 из 3)

Академия России

Кафедра Физики

ПЕРЕХОДНЫЕ И СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Орел 2009

Содержание

Вступление

Переходные колебания в цепи с емкостью

Переходные колебания в цепи с индуктивностью

Методика нахождения реакций

Свободные колебания в электрической цепи

Библиографический список

ВСТУПЛЕНИЕ

В данной лекции будет показан принцип применения операторного метода для анализа переходных колебаний в электрических цепях, содержащих один реактивный элемент и резисторы.

Будем считать, что на электрическую цепь, содержащую один реактивный элемент и резисторы, в момент

действует ступенчатое воздействие в виде перепада постоянного тока или постоянного напряжения, условное обозначение которых показано на рисунке 1. Цепь находится при нулевых начальных условиях (НУ).

Рис. 1

В результате изучения материала курсанты должны уметь находить математическое выражение и строить график любой реакции на ступенчатое воздействие в цепях, содержащих один реактивный элемент и один или несколько резисторов.

Переходные колебания в цепи с емкостью

Рассмотрим воздействие перепада напряжения на последовательную RC-цепь. Пусть на последовательную RC-цепь, находящуюся при нулевых НУ в момент

воздействует перепад напряжения (рис. 2).

Рис. 2

Найдем законы изменения тока в цепи

и напряжений на ее элементах и .

На основании 2 закона коммутации:

.

Для анализа переходного процесса используем операторный метод, для чего перейдем к операторной схеме замещения RC-цепи (рис. 3)

Рис. 3

Изображение тока в цепи определяется по закону Ома в операторной форме:

.

По таблице соответствий найдем оригинал:

,

где

есть постоянная времени цепи.

Постоянная времени τ - промежуток времени, в течение которого напряжение (ток), убывая по экспоненциальному закону, уменьшается в е раз по отношению к значению напряжения (тока) в начале анализируемого промежутка времени. Она зависит от параметров цепи и влияет на крутизну экспоненты.

Напряжение на резисторе определяется по закону Ома для оригинала:

.

Закон изменения напряжения на емкости проще всего найти по 2‑ому закону Кирхгофа для оригиналов:

.

Отметим, что при

, , т. е. в момент перепада напряжения конденсатор представляет собой КЗ.

Графики данных функций описываются экспоненциальным законом и отличаются лишь начальным значением реакций. Их можно построить, составив таблицу значений

для и для :

	0
	1	0,368	0,135	0,05	0,01	<0,01
	0	0,632	0,865	0,95	0,99	>0,99

На рисунке 4 показаны графики

и и их деформация при изменении цепи.

Рис. 4

Постоянную времени цепи τ можно определить по следующему отношению величин, взятых из графика (рис. 4).

.

Постоянная времени τ зависит от параметров цепи (R и С) и влияет на крутизну экспоненты (рис. 4):

- при уменьшении τ экспонента проходит круче и процесс переходных колебаний ускоряется;

- при увеличении τ, наоборот, экспонента проходит положе и процесс переходных колебаний замедляется.

Из графика видно, что теоретически переходные колебания в RC-цепи продолжаются бесконечно долго: f(t) → 0 (Е) при t → ∞.

Если рассмотреть промежуток времени t = 3τ, то окажется, что значение исходной функции уменьшается до 0,05 (увеличивается до 0,95) от начального значения, а при t = 4,6τ значение функции будет составлять всего 0,01 (0,99) от первоначального. Принято считать промежуток времени от t = 0 до t = (3

4,6)τ длительностью процесса переходных колебаний или временем установления.

Таким образом, t_УСТ = (3

4,6)τ.

Примечание: постоянная времени сложной цепи определяется по той же формуле τ = RC, где R = R_ЭКВ – эквивалентное сопротивление, подключенное к элементу емкости после совершения коммутации, т. е. при t = +0. Это сопротивление находится, как в обычной резистивной цепи.

Соответствующая операторная схема показана на рисунке 6.

Рис. 6

Воспользуемся методом контурных токов:

;

;

.

Далее находим остальные реакции по первому закону Кирхгофа:

.

Графики этих реакций, при

, будут иметь вид (рис. 7):

Рис. 7

Напряжения на резисторах легко определяются путем умножения токов

и на соответствующие сопротивления, а напряжение на емкости можно найти по второму закону Кирхгофа:

.

График данной функции имеет такой же вид, как и на рисунке 4.

Выводы:

1. Временные зависимости всех реакций определяются экспоненциальной функцией.

2. Переходные процессы теоретически длятся бесконечно долго, однако на практике их считают законченными за время

, которое называют временем установления. Изменяя постоянную времени цепи можно менять длительность переходного процесса.

3. С физической точки зрения все графики объясняются процессом заряда емкости при ступенчатом воздействии.

Переходные колебания в цепи с индуктивностью

Анализ переходных колебаний в цепи с индуктивностью при воздействии перепада напряжений выполняется аналогично рассмотренному выше. Найдем реакции в последовательной цепи

, показанной на рисунке 8.

Рис. 8

,

где

— постоянная времени цепи .