Академия России
Кафедра Физики
ПЕРЕХОДНЫЕ И СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Содержание
Вступление
Переходные колебания в цепи с емкостью
Переходные колебания в цепи с индуктивностью
Методика нахождения реакций
Свободные колебания в электрической цепи
ВСТУПЛЕНИЕ
В данной лекции будет показан принцип применения операторного метода для анализа переходных колебаний в электрических цепях, содержащих один реактивный элемент и резисторы.
Будем считать, что на электрическую цепь, содержащую один реактивный элемент и резисторы, в момент
действует ступенчатое воздействие в виде перепада постоянного тока или постоянного напряжения, условное обозначение которых показано на рисунке 1. Цепь находится при нулевых начальных условиях (НУ).Рис. 1
В результате изучения материала курсанты должны уметь находить математическое выражение и строить график любой реакции на ступенчатое воздействие в цепях, содержащих один реактивный элемент и один или несколько резисторов.
Переходные колебания в цепи с емкостью
Рассмотрим воздействие перепада напряжения на последовательную RC-цепь. Пусть на последовательную RC-цепь, находящуюся при нулевых НУ в момент
воздействует перепад напряжения (рис. 2).Найдем законы изменения тока в цепи
и напряжений на ее элементах и .На основании 2 закона коммутации:
.Для анализа переходного процесса используем операторный метод, для чего перейдем к операторной схеме замещения RC-цепи (рис. 3)
Рис. 3
Изображение тока в цепи определяется по закону Ома в операторной форме:
.По таблице соответствий найдем оригинал:
,где
есть постоянная времени цепи.Постоянная времени τ - промежуток времени, в течение которого напряжение (ток), убывая по экспоненциальному закону, уменьшается в е раз по отношению к значению напряжения (тока) в начале анализируемого промежутка времени. Она зависит от параметров цепи и влияет на крутизну экспоненты.
Напряжение на резисторе определяется по закону Ома для оригинала:
.Закон изменения напряжения на емкости проще всего найти по 2‑ому закону Кирхгофа для оригиналов:
.Отметим, что при
, , т. е. в момент перепада напряжения конденсатор представляет собой КЗ.Графики данных функций описываются экспоненциальным законом и отличаются лишь начальным значением реакций. Их можно построить, составив таблицу значений
для и для :0 | ||||||
1 | 0,368 | 0,135 | 0,05 | 0,01 | <0,01 | |
0 | 0,632 | 0,865 | 0,95 | 0,99 | >0,99 |
На рисунке 4 показаны графики
и и их деформация при изменении цепи.Рис. 4
Постоянную времени цепи τ можно определить по следующему отношению величин, взятых из графика (рис. 4).
.Постоянная времени τ зависит от параметров цепи (R и С) и влияет на крутизну экспоненты (рис. 4):
- при уменьшении τ экспонента проходит круче и процесс переходных колебаний ускоряется;
- при увеличении τ, наоборот, экспонента проходит положе и процесс переходных колебаний замедляется.
Из графика видно, что теоретически переходные колебания в RC-цепи продолжаются бесконечно долго: f(t) → 0 (Е) при t → ∞.
Если рассмотреть промежуток времени t = 3τ, то окажется, что значение исходной функции уменьшается до 0,05 (увеличивается до 0,95) от начального значения, а при t = 4,6τ значение функции будет составлять всего 0,01 (0,99) от первоначального. Принято считать промежуток времени от t = 0 до t = (3
4,6)τ длительностью процесса переходных колебаний или временем установления.Таким образом, tУСТ = (3
4,6)τ.Примечание: постоянная времени сложной цепи определяется по той же формуле τ = RC, где R = RЭКВ – эквивалентное сопротивление, подключенное к элементу емкости после совершения коммутации, т. е. при t = +0. Это сопротивление находится, как в обычной резистивной цепи.
Соответствующая операторная схема показана на рисунке 6.
Рис. 6
Воспользуемся методом контурных токов:
; ; .Далее находим остальные реакции по первому закону Кирхгофа:
.Графики этих реакций, при
, будут иметь вид (рис. 7):Рис. 7
Напряжения на резисторах легко определяются путем умножения токов
и на соответствующие сопротивления, а напряжение на емкости можно найти по второму закону Кирхгофа: .График данной функции имеет такой же вид, как и на рисунке 4.
Выводы:
1. Временные зависимости всех реакций определяются экспоненциальной функцией.
2. Переходные процессы теоретически длятся бесконечно долго, однако на практике их считают законченными за время
, которое называют временем установления. Изменяя постоянную времени цепи можно менять длительность переходного процесса.3. С физической точки зрения все графики объясняются процессом заряда емкости при ступенчатом воздействии.
Переходные колебания в цепи с индуктивностью
Анализ переходных колебаний в цепи с индуктивностью при воздействии перепада напряжений выполняется аналогично рассмотренному выше. Найдем реакции в последовательной цепи
, показанной на рисунке 8.Рис. 8
где
— постоянная времени цепи .