Оценки спектральных радиусов (стр. 8 из 13)

Пример. Рассмотрим матрицу

и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :

;

;

,

.

Имеем

,

, т.е.

. Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно

.

В то время как точное значение спектрального радиуса:

.

Заметим, что использование коммутирующего оператора

способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то

, и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .

§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора

Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].

Теорема 1 .Пусть

- матричное ядро.

. Функции

, заданны в квадрате

, за исключением прямой t=s,

,

. Пусть r=

-спектральный радиус матричного интегрального оператора

.Тогда

, где p>0, q>0, 1/p + 1/q =1,

где

.(1)

Доказательство.

Рассмотрим систему

. (2)

Так как

- спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

(3)

Представим

(4)

Вычтем почленно из (2) тождество (4):

.

Так как

, то , таким образом:

Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что

,

получим:

=

=

согласно (4)

=

учитывая (1) и (3)

.

Возведем обе части в степень q.

, тогда

Проинтегрируем по t

,

учитывая (3) получим:

или

Теорема доказана.

Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.

Теорема2. Пусть

-непрерывное матричное ядро

. Тогда функции

, заданные для

, порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве

.

Пусть

-спектральный радиус матричного интегрального оператора в пространстве ,

, ,

докажем, что

.

Для доказательства теоремы рассмотрим систему

. (5)

Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы

(6)

Умножим обе части уравнения (5) на

. Получим

. (7)

С учетом (5)

,

тогда (7) запишется следующим образом:

(8)

Умножим обе части выражения (8) на

, получим

. (9)

Проинтегрируем обе части выражения (9) по

.

Тогда

Учитывая (6),получим

Из неравенства Гельдера

для

получим

.

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.

§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного

положительного оператора

В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента

со значением комбинации элементов , где - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].