Оценки спектральных радиусов (стр. 7 из 13)
является собственным значением соответствующего оператора 
и собственным значением сопряженного оператора 
, которому отвечают собственный вектор 
оператора и собственный функционал 
оператора 
, где 
- сопряженная к 
полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов 
. Таким образом, получим 
и 
.Теорема доказана.
Приведем достаточно известный [22] результат.
Теорема 5.Если 
, то уравнение
(19)
имеет единственное решение
,
которое является пределом последовательных приближений
(20)
при любом 
.
Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана
.Перейдем к рассмотрению строгих оценок.
Теорема 6.Пусть 
и 
- линейные положительные операторы, действующие в пространстве 
, причем они коммутируют, т.е. 
, и пусть оператор - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса 
выполнено неравенство
, ( 
).
Пусть выполнено одно из условий:
1) вполне непрерывен, - квазивнутренний элемент ;
2) конус телесный и нормальный, - внутренний элемент ;
3) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный;
4) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ;
5) оператор допускает представление
,
где - вполне непрерывен, 
, конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент 
, что 
.
Тогда справедливо строгое неравенство
.
Доказательство.
В силу теоремы 5 уравнение
имеет решение
.Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству
. (21)Т.к.
- неразложим, то из неравенства (21) следует, что 
- квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом 
выполнено неравенство 
. (22)В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал
, что 
. На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент 
оператора , отвечающий собственному значению 
, который будет также собственным элементом оператора 
, отвечающим некоторому собственному значению 
оператора . Тогда 
,и из (22) вытекает
.Откуда
.Следовательно,
.Теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы
и полукоммутируют, т.к. если операторы и полукоммутируют, и оператор неразложим, то имеет место равенство: ,т. е. операторы
и коммутируют.Замечание 2. Используя равенство
можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень
удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства 
вытекает оценка
.