Оценки спектральных радиусов (стр. 5 из 13)
, 
.Если уравнение
при данном
имеет решение, отличное от тривиального, то называется собственным значением оператора 
, а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению . При этом собственное значение называется позитивным, если 
и отвечающий ему собственный вектор 
принадлежит конусу 
.Глава II
Оценки спектральных радиусов интегральных операторов
§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных
операторов
Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа
lx = Ax + f.
Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.
В терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).
Приведем соответствующее определение.
Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора А, если оператор
(lI - A)
имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).
Спектральным радиусомr(А) оператора А называется следующая величина:
.Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка
r(А) < ||A||.
Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:
Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r(А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).
Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x*ÎК (теорема Перрона-Фробениуса [2]).
В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида
r(A)<1, (1)
где r(A) - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:
10) A=(aij) (i,j=1,2,3…); (2)
20) A – интегральный оператор вида
, (3)где W - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) – измеримая по sÎW почти при всех значениях tÎW функция, для которой при некоторых p>1 и
выполняется условие: 
. (4)При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].
Введем в рассмотрение следующие функции
, 
. (5)Теорема 1.Пусть для некоторого aÎ[0,1] выполняется следующее неравенство
Pa(t)Q1-a(t)£1 (tÎW) (6)
и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:
10) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;
20) в неравенстве (6) строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества wÎW, mesw>0, оператор А – неразложим в пространстве Lp(W).
Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:
r(A)<1.
Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).
Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса
посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида 
,где
- фиксированный элемент из 
, вытекает оценка снизу 
для спектрального радиуса
линейного положительного оператора 
, а из неравенства вида 
(7)(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента
и конуса , или оператора ), вытекает оценка сверху для вида 
. (8)Для этого, например, достаточно, чтобы конус
был телесным и нормальным, и чтобы 
был внутренним элементом конуса . Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки сверху, оценка снизу верна при единственном предположении о том, что 
.Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида
, (9)где
- некоторый линейный оператор, действующий в пространстве ? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка 
? (10)При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов
и на фиксированном элементе конуса .Теорема 2.Пусть конус - телесен и нормален, - внутренний элемент конуса . и - линейные положительные операторы, действующие в , причем они коммутируют, т.е.