Оценки спектральных радиусов (стр. 11 из 13)

.

Так же инвариантом группы Лоренца является ранг тензора.

Еще одно очевидное свойство любого преобразования группы Лоренца:

.

Рассмотрим положительно определенные формы. Докажем следующую теорему.

Теорема 1.Пусть

, (1)

Для x_i из области R, определенной соотношениями

(2)

Тогда для

(3)

Доказательство.

Применим метод квазилинеаризации, покажем, что

, (4)

где S(z) – область, определенная соотношениями

(5)

Применяя неравенство Гельдера, получаем

(6)

Минимум последнего выражения как функции от

в силу условий (2) и (5) достигается в точке, где

,

и равен

. Отсюда следует представление (4). Из этого представления следует теорема 1. Приведенное доказательство принадлежит Беллману [5].

Лебеговские функциональные пространства

Пусть

, Лебеговским функциональным пространством называется совокупность всех вещественнозначных (соответственно - комплекснозначных) измеримых по Лебегу функций (соответственно - ) [14], таких, что интегрируема на X, т.е.

Число

называется нормой функции f в пространстве L_p(X). Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое покрытие X, имеющее кратность.

При этом:

· покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр;

· кратностью конечного покрытия пространства X называется такое наибольшее целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Наиболее важными свойствами лебеговских пространств являются следующие [17], [23]:

1). (Неравенство Гельдера). Пусть p>1, q>1, 1/p+1/q=1 и

, . Тогда

, и выполнено неравенство

, т. е.

.

2). (Неравенство Минковского). Если

и

, то

,и имеет место неравенство

, т. е.

.

Приступая к доказательству неравенства Минковского, заметим, что при p=1 оно очевидно. Если p>1, то можем написать

.

Найдем положительное число q из условия 1/p+1/q=1 и применим неравенство Гельдера к каждому из интегралов, стоящих в правой части последней формулы. Тогда

.

Последнее равенство здесь написано в силу того, что q(p-1)=p.

Разделив начальный и конечный члены полученного неравенства на

и учтя, что 1-1/q=1/p, получим

,

что и завершает доказательство неравенства Минковского.

Следующее свойство лебеговских функциональных пространств существенно опирается на неравенство Минковского:

3). Для любого

пространство L_p(X) с введенной выше нормой

является линейным нормированным пространством.

Для доказательства заметим, что если

, то для любого числа функция лежит в L_p(X) (что очевидно), и f+g лежит в L_p(X) (в соответствии с неравенством Минковского). Неотрицательность нормы

очевидна. Условие только при f=0 выполняется, в силу принятого в теории интеграла Лебега соглашения, что функция f равна нулю на множестве X , если и только если f(x)=0 для почти всех . Неравенство треугольника для нормы

выполняется в силу неравенства Минковского. Положительная однородность нормы

видна непосредственно из определения (2).

Конструкция интеграла Лебега ценна не столько тем, что она позволяет расширить класс интегрируемых функций по сравнению с интегралом Римана (известны еще более общие конструкции интеграла), сколько тем, что интеграл Лебега обладает наиболее естественными и удобными свойствами. Одно из них, принимаемое нами без доказательства, таково:

4). (Полнота лебеговских пространств). Для любого

линейное нормированное пространство L_p(X) является полным, другими словами - всякая фундаментальная последовательность функций из L_p(X) сходится к некоторой функции из L_p(X) , т.е., если

и для каждого существует номер n_o такой, что для всех выполняется неравенство , то существует функция такая, что при .

5). (Плотность бесконечно дифференцируемых функций в L_p(X)). Для любого

множество бесконечно дифференцируемых функций плотно в L_p(X), иными словами - для любой функции

и любого найдется функция такая, что .

6). (Сепарабельность лебеговских пространств). Для любого

пространство L_p(X) сепарабельно, иначе говоря, в L_p(X) существует счетное плотное множество функций.

§2. Условия ограниченности интегрального оператора в

пространствах Лоренца

Пусть

(7)