Оценки спектральных радиусов (стр. 10 из 13)

Т.к.

, то заменив в последнем неравенстве

на

, только усилим его:

таким образом

. Теорема доказана.

Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор

также неразложим, тогда будет верна оценка:

Теорема 4.Пусть

воспроизводящий и нормальный конус,
и
линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.
. Пусть
- неразложим, и пусть для некоторого
выполняется неравенство

,
. Если спектральный радиус оператора
известен и
, то

Если для

известна оценка
и выполняется неравенство
, тогда имеет место оценка:
.

Доказательство.

Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству

. (4)

Предположим, что

, тогда, усиливая неравенство (4), получим

что противоречит предположению. Остается принять, что

. Усиливая неравенство (4), получим

Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4)

на большее число

, повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 6.Пусть

воспроизводящий и нормальный конус,
и
линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.
. Пусть
- неразложим и для некоторого
выполняется неравенство

,
. Если наименьшее позитивное значение
оператора
известно и
, то

Если для

известна оценка
, и выполняется неравенство
, тогда имеет место оценка:
.

Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.

Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор

также неразложим, спектральный радиус
оператора
известен и
, тогда верна оценка:

Теорема 6.Пусть

воспроизводящий и нормальный конус,
и
линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.
. Пусть
- неразложим. Если для некоторого
выполняется неравенство

где

,
и
, то верна оценка:

Доказательство.

Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству

, (5)

из которого следует, что

. Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что

, и усилив неравенство (5), получим

что противоречит условию. Остается принять, что

. Усиливая неравенство (5), получим

, откуда следует

Теорема доказана.

Эти результаты были описаны в работах ([26], [29]). Важным моментом доказанных теорем является то, что телесность конуса не предполагается.

Глава III.

Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца

§1. Пространства Лебега и Лоренца

Введем понятие группы преобразований [5]. Пусть есть два преобразования fи g. Gназывается группой, если для любых fи g, таких, что

выполняются следующие условия:

;

(I - единичное преобразование,

);

(

-обратное преобразование).

Очевидно, преобразования вида

образуют группу. Для любых преобразований группы Лоренца скалярное произведение двух векторов является инвариантом. Если Xи

- тензоры, то инвариантом группы Лоренца будет