Ефект Доплера в класичній та релятивійській теорії (стр. 2 из 5)
Якщо ввести чотиривимірний вектор
, то фаза може бути записана у вигляді: 
= 
.Звідси видно, що величина
є чотиривимірним вектором, бо 
- добуток 
на вектор 
є скаляром як фаза хвилі, і тому може розглядатися як скалярний добуток двох чотиривимірних векторів і .Вектор
називається чотиривимірним хвильовим вектором. Оскільки 
є чотиривимірним вектором, то при переході від однієї системи відліку до іншої він змінюється за формулами перетворень Лоренца. Запишемо формули перетворення для чотиривимірного вектора : 
; 
; (5) 
; 
.Компоненти вектора
у тривимірному записі мають вигляд: 
; 
.Тут і далі
- кути між осями Х`, Y`, Z` відповідно і хвильовим вектором k`. Рівняння (5) тепер матимуть вигляд: 
,(6)Поділивши перше рівняння (6) на друге, дістанемо:
. (7)З другого і третього рівнянь (5) знайдемо аналогічно:
де
- кути між вектором k і відповідно осями Х, Y, Z.З цих рівнянь,підставляючи в них
з (6), знайдемо: 
. (8)З рівнянь (6)-(8) видно, як змінюються напрям поширення і частота електромагнітних хвиль при переході від системи К до К`.
З рівнянь (7) і (8) випливає існування аберації світла при спостереженні зірок. Нехай зірка нерухома в системі К. Якщо промінь від неї перпендикулярний до напряму руху Землі і лежить у площині ОХУ, то
; 
; 
.Підставляючи ці значення у (7) і (8), матимемо для Землі (систем К`), рухається відносно зірки з швидкістю v:
Оскільки
то в системі К` промінь зірки також ледить у площині О Х`Y`. Далі матимемо: 
,
Звідки знайдемо:
.Для малих
(коли 
<<c ) дістанемо відомий вираз:
.Тут
- кут, що визначає величину аберації зірок.З другої формули (5) визначимо
: 
. (9)Отже, якщо тіло випромінює хвилі з частотою
, рухається з швидкість 
, то в нерухомій системі К частота, згідно з (9), буде . Це явище буде ефектом Доплера. На відміну від класичної теорії, релятивістський ефект Доплера існує і при 
(поперечний ефект Доплера).1.3 Повздовжній ефект Доплера
Світлова хвиля розповсюджується уподовж напрямку відносної швидкості руху приймача
, тобто 
=1. Тоді, згідно 
маємо: 
(10)
Це явище має назву повздовжній ефект Доплера. При малих (
) відносних швидкостях 
, розкладаючи (10) в ряд за степенями 
і нехтуючи членом порядку 
2, отримаємо:(11)
З (11) можна обрахувати доплерівське зміщення частоти
: 
(12)Або, зважаючи на те, що
, то : 
(13)Як випливає з (12) і (13), при видаленні джерела і приймача один від одного, тобто при їх позитивно відносній швидкості відбувається зрушення в область довших хвиль
, що називається червоним зрушенням. При зближенні джерела і приймача світла 
тобто відбувається так зване фіолетове зміщення.Досліди Білопольського і Голіцина по виявленню подовжнього ефекту Доплера. Подовжній ефект Доплера був вперше виявлений в лабораторних умовах російським астрофізиком А. А. Білопольським в 1898 р. Остаточні результати Білопольського були опубліковані в 1900 р. Аналогічні досліди були повторені Б. Б. Голіциним в 1907 р. Схема досвіду Білопольського представлена на (рис. 2)
Рис. 2
В середині між двох дзеркал А і В, здатних переміщатися один відносно одного, поміщено джерело світла S. Багатократне віддзеркалення світла від рухомих дзеркал дозволяє збільшити швидкість руху джерела. Позначимо відстань від джерела S до одного з дзеркал А і В через х. Тоді відстані від джерела до його першого, другого, j-го зображення відповідно будуть:
SS' = 2x, SS" = 4х ..., SSij = 2jx.
Очевидно, що при русі дзеркал із швидкістю
нормально до їх поверхонь рухаються і всі зображення. Тоді для швидкості j-го зображення маємо: 
,звідки видно значне підвищення швидкості спостережуваного джерела, яким є j-е зображення дійсного джерела. У дослідах Білопольського
= 670 м/с (в Голіцина від 250 до 350 м/с). Як спектральний прилад, реєструючий зсув частоти, Білопольським був використаний трьохпризматичний спектрограф, Голіциним — ешелон Майкельсона. У запропонованій схемі Белопольського дзеркала були радіальними лопастями двох коліс (рис. 3), що приводяться в обертання за допомогою моторів, що забезпечують строго постійну швидкість. 
Рис. 3
1.4 Поперечний ефект Доплера
Дослідимо як змінюються проміжки часу в системах, зв’язаних з рухомими тілами.
Нехай у системах К` і К є два однакових годинники А` і А, які в певний момент часу містяться в тій самій точці (мал. 2); таким годинником може бути не лише точний механізм, а й будь-який періодичний процес. У цей момент годинник А в системі К показуватиме час t1, а годинник А` в системі К` - час t`1. Через деякий час годинник А` в системі К` показуватиме час t`2. Але тепер А` не міститься в одній точці з А (внаслідок руху системи К`). І для порівняння часу, який він показує, з часом у системі К треба скористатися іншим годинником В, що міститься в тій самій точці з В` у момент t`2. Годинник В покаже в цей момент якийсь час t2. Звичайно, годинники А і В синхронізовані і показують однаковий час.