Взаимодействие тел и законы Ньютона (стр. 2 из 3)

В классической механике считается, что:

а) Масса материальной точки не зависит от состояния движения точки, являясь ее неизменной характеристикой.

б) Масса – величина аддитивная, т.е. масса системы (например, тела) равна сумме масс вех материальных точек, входящих в состав этой системы.

в) Масса замкнутой системы остается неизменной при любых процессах, происходящих в этой системе (закон сохранения массы).

Плотностью ρ тела в данной его точке M называется отношение массы dm малого элемента тела, включающего точку M, к величине dV объема этого элемента:

ρ=

Размеры рассматриваемого элемента должны быть столь малы, чтобы изменением плотности в его пределах можно было во много раз больше межмолекулярных расстояний.

Тело называется однородным, если во всех его точках плотность одинакова. Масса однородного тела равна произведению его плотности на объем:

m=ρV

Масса неоднородного тела:

m =

dV,

где ρ – функция координат, а интегрирование проводится по всему объему тела. Средней плотностью (ρ) неоднородного тела называется отношение его массы к объему: (ρ)=m/V.

Центром масс системы материальных точек называется точка С, радиус-вектор

которой равен:

где

и – масса и радиус-вектор i-й материальной точки, n – общее число материальных точек в системе, а m= - масса всей системы.

Скорость центра масс:

Векторная величина

, равная произведению массы материальной точки на ее скорость , называется импульсом, или количеством движения, этой материальной точки. Импульсом системы материальных точек называется вектор p, равный геометрической сумме импульсов всех материальных точек системы:

импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость центра ее масс:

Второй закон Ньютона

Основным законом динамики материальной точки является второй закон Ньютона, который говорит о том, как изменяется механическое движение материальной точки под действием приложенных к ней сил. Второй закон Ньютона гласит: скорость изменения импульса ρ материальной точки равна действующей на нее силе F, т.е.

, или

где m и v – масса и скорость материальной точки.

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то под силой F во втором законе Ньютона нужно понимать геометрическую сумму всех действующих сил – как активных, так и реакций связей, т.е. равнодействующую силу.

Векторная величина Fdtназывается элементарном импульсом силы F за малое время dt ее действия. Импульс силы F за конечный промежуток времени от

до равен определенному интегралу:

где F, в общем случае, зависит от времени t.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы:

dp= Fdtи

,

где

– значение импульса материальной точки в конце ( ) и в начале ( ) рассматриваемого промежутка времени.

Поскольку в ньютоновской механике масса mматериальной точки не зависит от состояния движения точки, то

Поэтому математическое выражение второго закона Ньютона можно также представить в форме

где

– ускорение материальной точки, r – ее радиус-вектор. Соответственно формулировка второго закона Ньютона гласит: ускорение материальной точки совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе материальной точки.

Касательное и нормальное ускорение материальной определяются соответствующими составляющими силы F

,

где

– модуль вектора скорости материальной точки, а R – радиус кривизны ее траектории. Сила , сообщающая материальной точке нормальное ускорение, направлена к центру кривизны траектории точки и потому называется центростремительной силой.

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил

, то ее ускорение

где

. Следовательно, каждая из сил, одновременно действующих на материальную точку, сообщает ей такое же ускорение, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил).

Дифференциальным уравнением движения материальной точки называется уравнение

В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат это уравнение имеет вид

, ,

где x, y и z – координаты движущейся точки.

Третий закон Ньютона. Движение центра масс

Механическое действие тел друг на друга проявляется в виде их взаимодействия. Об этом говорит третий закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Если

– сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й, а – сила действующая на k-ю материальную точку со стороны i-й, то, согласно третьему закону Ньютона,

Сила

приложены к разным материальным точкам и могут и взаимно уравновешиваться только в тех случаях, когда эти точки принадлежат одному и тому же абсолютно твердому телу.

Третий закон Ньютона является существенным дополнением к первому и второму законам. Он позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной механической системы (системы материальных точек). Из третьего закона Ньютона следует, что в любой механической системе геометрическая сумма всех внутренних сил равна нулю:

где n – число материальных точек, входящих в состав системы, а

.

Вектор

, равный геометрической сумме все внешних сил, действующих на систему, называется главным вектором внешних сил:

где

– результирующая внешних сил, приложенных к i-й материальной точке.

Из второго и третьего законов Ньютона следует, что первая производная по времени tот импульса pмеханической системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе,

.

Это уравнение выражает закон изменения импульса системы.