Опис та типологія коливань (стр. 2 из 4)
(2,7)Таким чином, амплітуда коливається періодично із частотою ε, міняючись між двома межами
Це явище зветься биттів.
Рівняння руху (2,2) може бути про інтегровано й у загальному виді при довільній силі, що змушує, F(t), Це легко зробити, переписавши його попередньо у вигляді
або 
(2,8)де уведена комплексна величина
(2,9)Рівняння (2,8) уже не другого, а першого порядку. Без правої частини його рішенням було б
с постійної А. Дотримуючись загального правила, шукаємо рішення неоднорідного рівняння у вигляді
і для функції A(t) одержуємо рівняння
Інтегруючи його, одержимо рішення рівняння (2,8) у вигляді
(2, 10)де постійна інтегрування ε0 являє собою значення ε у момент часу t = 0. Це і є шукане загальне рішення; функція x(t) дається мнимою частиною вираження (2,10).
Енергія системи, що робить змушені коливання, зрозуміло, не зберігається; система здобуває енергію за рахунок джерела зовнішньої сили. Визначимо повну енергію, передану системі за увесь час дії сили (від - ? до + ?), припускаючи початкову енергію рівної нулю. Відповідно до формули (2,10) (з нижньою межею інтегрування - ? замість нуля й з
ξ(-∞) = 0) маємо при t → ∞:
З іншого боку, енергія системи як такий дається вираженням
(2,11)Підставивши сюди | ξ (∞) |2, одержимо шукану передачу енергії
у вигляді
(2,12)вона визначається квадратом модуля компоненти Фур'є сили F(t) із частотою, рівній власній частоті системи.
Зокрема, якщо зовнішня сила діє лише протягом короткого проміжку часу (малого в порівнянні з 1/ω), те можна покласти
.Тоді
Цей результат заздалегідь очевидний: він виражає собою той факт, що короткочасна сила повідомляє системі імпульс ∫F dt, не встигши за цей час зробити помітного зсуву.
Коливання систем з багатьма ступенями волі
Теорія вільних коливань систем з декількома (s) ступенями волі будується аналогічно тому, як було розглянуто в одномірних коливаннях.
Нехай потенційна енергія системи U як функція узагальнених координат qi (i = 1, 2, .,., s) має мінімум при qi=qi0. Уводячи малі зсуви
xi =qi – qi0 (3,1)
і розкладаючи по них U з точністю до членів другого порядку, одержимо потенційну енергію у вигляді позитивно певної квадратичної форми
(3, 2)де ми знову відраховуємо потенційну енергію від її мінімального значення. Оскільки коефіцієнти kik і kki входять в (3, 2) помноженими на ту саму величину xi xk, те ясно, що їх можна завжди вважати симетричними по своїх індексах
У кінетичній же енергії, що має в загальному випадку вид
думаємо в коефіцієнтах qi = qi0 і, позначаючи постійні aik(qo) за допомогою mik , одержуємо її у вигляді позитивно певної квадратичної форми
(3,3)Коефіцієнти mlk теж можна завжди вважати симетричними по індексах
mik = mki
Таким чином, лагранжева функція системи, що робить вільні малі коливання:
(3, 4)Складемо тепер рівняння руху. Для визначення вхідних у них похідних напишемо повний диференціал функції Лагранжа
Оскільки величина суми не залежить, зрозуміло, від позначення індексів підсумовування, міняємо в першому й третьому членах у дужках i на k, a k на i; з огляду на при цьому симетричність коефіцієнтів mik і kik, одержимо:
Звідси видно, що
Тому рівняння Лагранжа
(3,5)Вони являють собою систему s(i = l, 2, ... , s) лінійних однорідних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами.
За загальними правилами рішення таких рівнянь шукаємо s невідомих функцій xk(t) у вигляді
(3,6)де Аk — деякі, поки невизначені, постійні. Підставляючи (3,6) у систему (3,5), одержуємо по скороченні на
систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, яким повинні задовольняти постійні Аk: 
(3,7)Для того щоб ця система мала відмінні від нуля рішення, повинен звертатися в нуль її визначник
(3,8)Рівняння (3,8) -—так зване характеристичне рівняння — являє собою рівняння ступеня s відносно ω2. Воно має в загальному випадку s різних речовинних позитивних корінь ω²a,
а=1, 2, … , s (в окремих випадках деякі із цих корінь можуть збігатися). Певні в такий спосіб величини ωа називаються власними частотами системи.
Речовинність і позитивність корінь рівняння (3,8) заздалегідь очевидні вже з фізичних міркувань. Дійсно, наявність в ω мнимої частини означало б наявність у тимчасовій залежності координат хk (3,6) (а з ними й швидкостей xk) експоненціальне убутного або експоненціальне зростаючого множника. Але наявність такого множника в цьому випадку неприпустимо, тому що воно привело б до зміни згодом сповненої енергії E=U+T системи в суперечності із законом її збереження.
У т же самому можна переконатися й чисто математичним шляхом. Помноживши рівняння (3,7) на
й підсумовував потім по i, одержимо: 
звідки
Квадратичні форми в чисельнику й знаменнику цього вираження речовинні в силу речовинності й симетричності коефіцієнтів kik і mik , дійсно,
Вони також істотно позитивні, а тому позитивно й ω2.
Після того як частоти ωа знайдені, підставляючи кожне з них у рівняння (3,7), можна знайти відповідні значення коефіцієнтів Аk. Якщо у всіх кореньі ωа характеристичного рівняння різні, те, як відомо, коефіцієнти Ak пропорційні мінорам визначника (3,8), у якому ω замінена відповідним значенням ωа, позначимо ці мінори через ∆ka. Приватне рішення системи диференціальних рівнянь (3,5) має, отже, вид
де Са— довільна (комплексна) постійна.
Загальне ж рішення дається сумою всіх s часток рішень. Переходячи до речовинної частини, напишемо його у вигляді
(3,9)Де ми ввели позначення
(3,10)Таким чином, зміна кожної з координат системи згодом являє собою накладення s простих періодичних коливань з довільними амплітудами й фазами, які мають цілком певні частоти.
Природно виникає питання, чи не можна вибрати узагальнені координати таким чином, щоб кожна з них робила тільки одне просте коливання? Сама форма загального інтеграла (3,9) указує шлях до рішення цього завдання.
Справді, розглядаючи s співвідношень (3,9) як систему рівнянь із s невідомими величинами Θа, ми можемо, дозволивши цю систему, виразити величини Θ1, Θ2, …, Θs через координати x1, x2, ..., xs. Отже, величини Θа можна розглядати як нові узагальнені координати. Ці координати називають нормальними (або головними), а чинені ними прості періодичні коливання — нормальними коливаннями системи.
Нормальні координати Θа задовольняють, як це виявляється з їхнього визначення, рівнянням
(3,11)Це значить, що в нормальних координатах рівняння рухи розпадаються на s незалежних друг від друга рівнянь. Прискорення кожної нормальної координати залежить тільки від значення цієї ж координати, і для повного визначення її тимчасової залежності треба знати початкові значення тільки її ж самої й відповідної їй швидкості. Інакше кажучи, нормальні коливання системи повністю незалежні.