Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 8 из 26)

(1.5.25)

(1.5.26)

(1.5.27)

(1.5.28)

(1.5.29)

Будем искать решение задачи (1.5.22) – (1.5.29), разлагая значение плотности

каждой из областей в ряд по параметру

. При этом для данных разложений асимптотические формулы с остаточным членом имеют вид

(1.5.30)

Решение исходной задачи получается из решения параметризованной задачи при

. Подставив выражения (1.5.30) в (1.5.22) – (1.5.29) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения

, получим следующую постановку параметризованной задачи

(1.5.31)

(1.5.32)

(1.5.33)

(1.5.34)

(1.5.35)

(1.5.36)

(1.5.37)

(1.5.38)

Анализ постановки задачи показывает, что условия сопряжения (1.5.34) позволяют связать между собой решения разных приближений в пласте проводимости, “подошве” и “кровле”. Это и определяет возможность “расцепления” получающихся уравнений, содержащих коэффициенты разложения соседних порядков.

1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении

Приравнивая коэффициенты при сомножителях

(нулевое приближение) в уравнении (1.5.33), получим

(1.5.39)

а, следовательно, после интегрирования

(1.5.40)

Таким образом, в нулевом приближении плотность загрязнителя является функцией только от rи t. Далее, из условий сопряжения (1.5.34) получаем

. Следовательно, в нулевом приближении плотность загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта

Приравнивая к нулю коэффициенты при

в (1.5.33), получим

(1.5.41)

Левую часть этого уравнения, в силу вышеизложенного не зависящую от z, обозначим через

(1.5.42)

тогда

(1.5.43)

Интегрируя это уравнение по z, получим

(1.5.44)

Повторное интегрирование позволяет представить первый коэффициент разложения в виде квадратного трехчлена относительно z, коэффициенты которого являются функциями от радиальной переменной и времени, но не зависят от z

(1.5.45)

Задача сводится к поиску функций

, не зависящих от z, значения которых определяются через следы производных из внешних областей с помощью процедуры расцепления, описанной ниже.

Подставляя выражения (1.5.44) при z= 1

(1.5.46)

и при z= –1

(1.5.47)

в условия сопряжения (1.5.34) для

, найдём два алгебраических уравнения, решая которые, получим для функций

следующие выражения:

(1.5.48)

(1.5.49)

С учетом (1.5.48) выражение (1.5.42) принимает вид

(1.5.50)

(1.5.50) представляет искомое уравнение для определения нулевого приближения плотности примесей в пласте.

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнения в покрывающих и подстилающих породах

(1.5.51)

(1.5.52)

(1.5.53)

При этом условия сопряжения, начальные и граничные условия

(1.5.54)

(1.5.55)

(1.5.56)

(1.5.57)

Выражения (1.5.51) – (1.5.57) представляют смешанную краевую задачу в нулевом приближении. Отметим, что в отличие от исходной задачи, которая представляет задачу сопряжения для уравнений параболического типа, она является смешанной, так как уравнение для пористого пласта не является параболическим. Кроме того, это уравнение содержит следы производных из внешних областей.