Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 7 из 26)

(1.4.53)

Условия сопряжения, начальные и граничные условия

(1.4.54)

(1.4.55)

(1.4.56)

(1.4.57)

(1.4.58)

Решение

отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z(1.4.43), где

определяются как (1.4.41), (1.4.42), а значение

предстоит найти.

Уравнения (1.4.51) – (1.4.58) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь

также зависит от плотности загрязнителя, что обусловливается выражениями для

1.5. Задача массопереноса

1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание

Геометрия задачи массопереноса практически ничем не отличается от температурной задачи и представлена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Геометрия задачи массопереноса

Математическая постановка задачи массопереноса для всех областей включает уравнение диффузии с учётом радиоактивного распада в покрывающем

(1.5.1)

и подстилающем

(1.5.2)

пластах, а также уравнение конвективной диффузии с учётом радиоактивного распада в пористом пласте

(1.5.3)

При этом граничные условия включают в себя равенства плотностей и потоков растворённого вещества на границах раздела пластов

(1.5.4)

(1.5.5)

Плотность загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстояниями до точки наблюдения, равна

, т.е.

(1.5.6)

В начальный момент времени полагаем плотность загрязнителя равной нулю

(1.5.7)

Кроме того, на бесконечности выполняются условия регулярности

(1.5.8)

Перейдём к безразмерным координатам (1.4.8). При этом получим следующую постановку задачи: для покрывающего пласта

(1.5.9)

для пористого пласта

(1.5.10)

для подстилающего пласта

(1.5.11)

При этом во втором слагаемом в левой части уравнения (1.5.9) появляется отношение коэффициента диффузии к коэффициенту температуропроводности

(1.5.12)

величина которого оказывается порядка ~

Вновь, как и в задаче теплопереноса, последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Рd который при существующих объёмах закачки имеет порядок ~ 10², так что конвективная составляющая (вдоль координаты r) для поля концентраций оказывается много значимей, чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) – (1.5.11) пренебрежём молекулярной диффузией вдоль оси r.

Вводя обозначения

(1.5.13)

выпишем окончательно интересующие нас уравнения:

(1.5.14)

(1.5.15)

(1.5.16)

Условия сопряжения, граничные и начальные условия при этом принимают вид

(1.5.17)

(1.5.18)

(1.5.19)

(1.5.20)

(1.5.21)

Уравнения (1.5.14) – (1.5.21) определяет математическую постановку задачи массопереноса.

1.5.2. Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру

Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра

путём формальной замены коэффициента диффузии

на частное

. В соответствии с принятыми обозначениями это отвечает следующим заменам:

. Задача (1.5.14) – (1.5.16) становится, таким образом, частным случаем (при

) более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:

(1.5.22)

(1.5.23)

(1.5.24)

с условиями сопряжения, граничными и начальными условиями