Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 6 из 26)

(1.4.26)

Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при

. Подставив (1.4.26) в (1.4.18) – (1.4.25) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения

, получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)

(1.4.27)

(1.4.28)

(1.4.29)

(1.4.30)

(1.4.31)

(1.4.32)

(1.4.33)

(1.4.34)

При этом плотность загрязнителя, входящая в (1.4.27) – (1.4.29), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения

, причём это разложение производится независимо от разложения (1.4.26), хотя и по тому же принципу.

1.3.2. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении

Из (1.4.29) для коэффициентов при

(нулевое приближение) получим

, тогда

. Таким образом, в нулевом приближении температура загрязнителя является функцией только от r и t. Из условий сопряжения (1.4.30)

. Следовательно, температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта

. Приравнивая коэффициенты при

к нулю в уравнении (1.4.29), получим

(1.4.35)

Сумму первых двух слагаемых в правой части этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через

(1.4.36)

Тогда

(1.4.37)

следовательно,

(1.4.38)

При z= 1, воспользовавшись (1.4.30)

(1.4.39)

при z= – 1

(1.4.40)

Вычитая и складывая два последних уравнения, получим для функций

следующие выражения:

(1.4.41)

(1.4.42)

Проинтегрировав (1.4.38), получим

(1.4.43)

здесь

функция, не зависящая от z, значение которой предстоит найти.

Подставив выражение

из (1.4.41) в (1.4.36), получим для нулевого приближения уравнение гиперболического типа со следами производных из внешних областей

(1.4.44)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении наряду с (1.4.44) включает также уравнения для окружающих сред, начальные, граничные условия и условия сопряжения

(1.4.45)

(1.4.46)

(1.4.47)

(1.4.48)

(1.4.49)

(1.4.50)

Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле в нулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивного загрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате в интервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значение плотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса (см. пункт 1.5.3).

Для определения в нулевом приближении поля температур в среде, как следует из (1.4.44) – (1.4.50), необходимо задание функции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществлена в пункте 1.5, а её решению посвящена глава II.

1.3.3. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении

Уравнения (1.4.27), (1.4.28) для коэффициентов при

(первое приближение) принимают вид

(1.4.51)

(1.4.52)

Для коэффициентов при

в (1.4.29)