Потенціальна енергія є скалярною величиною. Однак її зміна в певному напрямі є векторною величиною. Зміна потенціальної енергії в певному напрямі називається градієнтом, тобто
В рівності (3.2.8) вектором є градієнт.
Для руху матеріальної точки (тіла) в тривимірному просторі градієнт потенціальної енергії повинен враховувати проекції на осі координат х, у, z, тобто
де
Вираз (3.2.9) також можна записати через оператор набла, тобто
де -
В формулі (3.2.10) потенціальна енергія є скалярною величиною, а ось диференціювання скалярної величини по координатним осям дає вектор.
Вирази оператора набла
Градієнт скалярної величини П є вектор, який направлений вздовж нормалі в сторону зростання функції Пz (рис.3.6).
Рис.3.6.
Поверхні однакової потенціальної енергії називаються еквіпотенціальними поверхнями.
4. Закон збереження й перетворення механічної енергії
Сума кінетичної і потенціальної енергії всіх тіл, які складають замкнуту систему і взаємодіють між собою лише консервативними силами, залишається незмінною.
Це твердження виражає собою закон збереження й перетворення енергії в механічних процесах.
Якщо між тілами, які входять до замкнутої системи, будуть діяти сили тертя, то механічна енергія не зберігається. Частина її перетворюється у внутрішню енергію нагрівання тіл.
Розглянемо замкнуту систему матеріальних точок масами m1, m2, m3,..., mn, які рухаються з швидкостями відповідно v1, v2, v3, …,vn під дією внутрішніх консервативних сил f1, f2, f3,…, fn. Запишемо для всіх тіл цієї системи ІІ-й закон Ньютона:
Нехай за час dt кожна із точок системи здійснює відповідне переміщення
Помножимо рівності (3.4.1) на відповідні їм переміщення, одержимо:
Склавши всі ці рівняння в одно, одержимо
В рівності (3.4.3) під знаками сум є безмежно малі зміни відповідно кінетичної і потенціальної енергій, тобто
В рівності (3.4.4) враховано, що робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії (рівність 3.2.6), або
де
З урахуванням цих зауважень одержуємо:
d(К+П) =0, звідки К+П=const. (3.4.6)
Повна механічна енергія всіх тіл замкненої системи з часом не змінюється. В межах замкнутої системи відбувається перетворення енергії з одного виду в інший.
Системи тіл, в яких спостерігається перетворення енергії в інші, не механічні види енергії, називаються дисипативною. Однак і в цьому випадку відповідна еквівалентність між енергіями обов’язково зберігається.
Короткий висновок:
Таким чином, енергія ніколи не зникає безслідно і не виникає, вона лише перетворюється із одного виду в інший у рівновеликих кількостях. У цьому твердженні полягає основна фізична суть закону збереження і перетворення механічної енергії – суть не зникнення матерії та її руху.