Элементы кинетической теории газов и вероятностные модели (стр. 2 из 4)

Итак,

– доля молекул, первая компонента которых принадлежит окрестности значения первой компоненты скорости . Тогда – доля молекул, у которых дополнительно известно, что вторая компонента скорости принадлежит окрестности точки на второй координатной оси (при том, что первая …).

Аналогичным образом

есть доля молекул, вектор скорости которых принадлежит прямоугольному параллелепипеду с рёбрами вокруг точки . Но тот же смысл имеет и выражение , откуда мы получаем соотношение

.

На языке теории вероятностей такое равенство означает независимость случайных величин, представляющих собой компоненты вектора скорости молекулы идеального газа в декартовой системе координат в условиях термодинамического равновесия. Метод получения этого равенства не представляет собой доказательства, а лишь объясняет мотивы, по которым оно принимается нами за постулат.

Ясно, что по своему смыслу функции

и удовлетворяют условиям:

1)

,

2)

,

3)

и, аналогично (как следствие),

1)

,

2)

.

Упражнение. Показать, что

зависит только от или, что всё равно, от .

Далее будет найдено явное выражение для функций

и .

3. Давление газа на стенки и уравнение состояния идеального газа

При упругом соударении молекулы с поршнем происходят следующие события:

1) первая компонента вектора

, которая до столкновения была положительной, сохраняя свою абсолютную величину, меняет знак на противоположный, т.е. вектор после соударения превращается в вектор

2) для неподвижной стенки закон сохранения импульса

, даёт равенство , где – сила, действующая на поршень со стороны молекулы в процессе соударения, – импульс, который приобрела стенка в процессе соударения.

Поскольку соударение длится очень недолго, единственная (первая) компонента вектора

имеет график вида

За малый промежуток времени

происходит огромное количество таких соударений, и на поршень, таким образом, будет со стороны газа действовать сила со средним по времени значением ,

где индексом

занумерованы силы, отвечающие индивидуальным соударениям, происшедшим за промежуток времени .

Все молекулы, первая компонента скорости которых

, находящиеся внутри объёма за время успеют долететь до поршня и передать ему импульс, равный . То же самое можно (с малой погрешностью) сказать и о молекулах, скорость которых принадлежит окрестности точки .

Общее число таких молекул рано, очевидно, выражению

,

переданный ими поршню импульс равен

,

а суммарный импульс, переданный поршню за время

с произвольным , оказывается равным по величине

,

где

– полная кинетическая (а другой никакой нет) энергия идеального одноатомного газа, заполняющего наш сосуд. Но

,

и, в силу (1.3),

. Если в этом равенстве обозначить , то мы получим состояния ПТДС для случая одноатомного газа вида

,

где

– давление газа, – объём, заполненный газом, а – его полная внутренняя энергия.

Из равенства (2.3) видно, что под полной внутренней энергией ПТДС

понимается выражение

В теории вероятностей выражение

называется математическим ожиданием функции от случайной величины , равной в нашем случае .

В общем случае

.

Упражнение. Воспользовавшись физической интерпретацией плотности распределения по скоростям

для идеального газа, описанной ранее, показать, что в (4.3) равно сумме кинетических энергий отдельных молекул, из которых состоит газ, заполняющий ПТДС.

Из (4.3) видно, что

,

т.е. математическое ожидание для кинетической энергии молекулы в одноатомном идеальной газе равно среднему значению его полной энергии, приходящейся на одну молекулу.

4. Теплообмен и температура

Уже повседневный опыт свидетельствует: при тепловом контакте двух тел то из них, которое на ощупь воспринимается как более горячее, становится холоднее, а более холодное, наоборот, нагревается. При длительном контакте и без теплообмена с термостатом температура обоих тел уравнивается.

Здесь термин "температура" означает пока не более, чем то, что оба тела на ощупь кажутся одинаково тёплыми.