Фізичні основи квантової электроніки (стр. 2 из 7)
Розділ 2. Основні поняття квантової електроніки (фізичні основи квантової електроніки)
Принцип дії лазера або мазера заснований на трьох «китах» – головних поняттях квантової електроніки, а саме на поняттях вимушеного випромінювання, інверсного заселення та зворотнього зв’язку. Розглянемо більш детально дані основні поняття квантової електроніки.
2.1. Спонтанні та вимушені переходи,
Згідно законам класичної електродинаміки джерелом випромінювання світла може бути заряд, який рухається з прискоренням, причому величина випромінюваної енергії дорівнює:
(2.1)де
- прискорення частинки.Якщо джерелом випромінювання є одномірний гармонічний осцилятор
то частота випромінювання буде співпадати з механічною частотою коливання осцилятора, а інтенсивність випромінювання пропорційна квадрату амплітуди.
У квантовій механіці підхід до процесу випромінювання інший, оскільки саме випромінювання по квантовій теорії має місце тоді, коли частинка (система) переходить із одного квантового стану в інший, енергетично більш низький, тобто «зверху вниз».
Основні ідеї квантової теорії випромінювання полягають у наступному. Нехай один із електронів якої-небудь атомної системи знаходиться в збудженому стані m з енергією Еm. Тоді для такого електрона існує певна ймовірність Amnспонтанного переходу у більш низький енергетичний стан n з енергією En. При цьому відбувається випромінювання фотона з енергією
Якщо число подібних збуджених атомів дорівнює Nm, то енергія випромінювання за одиницю часу за рахунок спонтанних переходів дорівнюватиме: 
(2.2)Якщо атоми зазнаватимуть дії зовнішнього електромагнітного випромінювання, то виникатимуть вимушені переходи зверху вниз, і знизу вгору, причому переходи знизу вгору будуть відбуватися з поглинанням фотонів.
Позначимо імовірність вимушеного (індукованого) переходу з стану mв стан n через Bmn, а з стану n в стан mчерезBnm. Оскільки число вимушених переходів пропорційне спектральній густині
падаючого випромінювання, знайдемо значення енергії випромінювання і поглинання: 
(2.3) 
(2.4)де Nm– число станів у стані n. Розглянемо випадок термодинамічної рівноваги між нагрітими атомами і випромінюваним ними світлом (чорне випромінювання). Тоді:
.(2.5)Покладемо, що розподіл електронів по станам задаються розподілом Максвелла. Тоді маємо:
(2.6)У результаті математичних перетворень одержимо:
(2.7)Тоді з порівняння знаходимо:
(2.8)Звідси видно, що імовірності вимушених переходів як зверху вниз, так і знизу вгору виявляються рівними і пропорційними коефіцієнту спонтанного переходу Amn. Тому для описання випромінювання атомів або молекул достатньо визначити лише один із цих коефіцієнтів.
У загальних рисах квантова теорія випромінювання зводиться до наступного. В рамках теорії Шредінгера можна пояснити лише вимушені переходи, що відбуваються у результаті взаємодії електронів атома із зовнішньою електромагнітною хвилею. Спонтанні переходи із збуджених енергетичних станів у більш низькі залишаються у цьому випадку фактично не поясненими, оскільки відсутня зовнішня дія, яка б могла привести до цих переходів. Відповідь на це питання було знайдено тільки після створення квантової теорії випромінювання, у якій був використаний апарат квантування електромагнітного поля. При цьому електрони і поле випромінювання розглядаються як дві взаємодіючі квантові системи, причому ця взаємодія не зникає навіть при відсутності реальних фотонів.
2.2. Імовірність переходу під впливом зовнішньої дії,
Розглянемо атом, який з деякого моменту t=0 зазнає дії поля світлової хвилі. Покладемо, що хвиля строго монохроматична, лінійно поляризована по осі x і поширюється вздовж осі z. Електричне поле цієї хвилі діє на електрон атома з силою:
(2.9)де Е – напруженість електричного поля монохроматичної хвилі,
- довжина хвилі.Виберемо початок координат у центрі атома. Тому відношенням
можна знехтувати і вираз (10.14) перепишеться як: 
(2.10)Дій силі відповідатиме потенціал:
(2.11)Це і буде зовнішнє збурення, що діє на атом.
Нехай, як ми і припускали, в момент t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією En. Під впливом збурення буде буде здійснюватися перехід в інші стани. Знайдемо імовірність переходу En – Em за проміжок часу 0 – t. Для цього потрібно розв’язати нестаціонарне рівняння Шредінгера:
(2.12), де гамільтоніан 
, 
.Розв’язок будемо шукати у вигляді:
(2.13)Підставивши (2.13) у рівняння (2.12) і провівши нескладні викладки отримаємо:
(2.14).Підставляючи в цю рівність замість φm функції φ1, φ2,…отримаємо систему рівнянь, за яких можна знайти всі коефіцієнти С1, С2,…, тобто значення ймовірностей. Ці рівняння є тотожними, поскільки ніяких наближень не робилося.
Практично знайти коефіцієнти Cm з точного рівняння (2.14) неможливо, оскільки рівняння утворюють систему з нескінченним числом невідомих. Для отримання першого наближення можна скористатися тим, що коефіцієнти Ск(t) змінюються з часом повільно, а тому можна прийняти, що в час, близький до t=0, коефіцієнти Ск зберігають ті значення, які вони мали при t=0. Наприклад, якщо пр t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією En, то для t=0 коефіцієнт Cnрівний одиниці, а решта рівні
,Оскільки для цього моменту з достовірністю відомо, що атом знаходиться у стані
. Допускаємо, що ці значення коефіцієнтів зберігаються при достатньо малих значеннях t >0.Тому одержимо: 
(2.15)Переходи, які здійснюються в атомі під впливом поля випромінювання, можуть ати двоякий характер. Якщо Em > En, то атом буде поглинати енергію із поля, якщо Em <En – то атом віддає енергію полю – відбувається вимушене випромінювання. В першому випадку
додатне, у другому від’ємне. У кожному випадку одним із двох членів у дужках виразу (2.15) можна знехтувати першим доданком, а у випадку вимушеного випромінювання – другим.Розглянемо випадок поглинання, тоді з (2.15) матимемо:
(2.16)Квадрат модуля Сm характеризує імовірність переходу, тому
(2.17)(Сm)2 пропорційно квадрату дипольного моменту переходу
результат аналогічний класичній теорії випромінювання з тією різницею, що замість дипольного моменту ex входить матричний елемент exmn.Імовірність матиме максимальне значення при
, тобто падаюча хвиля спричиняє перехід En→ Emтільки у тому випадку, коли її частота співпадає з 
або дуже близька до .Розглянутий випадок є ідеалізованим. Дійсно, ми розглядали стани з різко визначеними значеннями енергії Emі En, а отже і
- строго визначена частота. В дійсності ж, стани мають скінченну ширину, а тому лінія поглинання теж має скінченну ширину, тобто є вузькою ділянкою суцільного спектру. Тому для отримання повної імовірності переходу, що відповідає всій ширині лінії, а не тільки її максимуму, необхідно (2.17) про інтегрувати по частотам в межах ширини лінії. Тоді одержимо: