Фізика напівпровідників (стр. 14 из 25)

Аналізуючи умовні експерименти, пов’язані з проходженням мікрочастинок через щілини, Гайзенберг (1927 р.) встановив наступні співвідношення між невизначеностями координат та відповідних імпульсів мікрочастинок

. (6.12)

Інтерпретацію цих співвідношень дав Н. Бор у вигляді принципу доповнюваності:

1) інформація про стан мікрочастинок може бути отримана лише за допомогою макроприладів, які взаємодіють з мікрочастинками;

2) за допомогою конкретного макроприладу можна встановити точне значення або координати, або імпульсу; при цьому чим точніше встановлена одна характеристика, тим невизначеніша інша.

Із співвідношення Гайзенберга слідує, зокрема, що поняття електронної орбіти в атомі втрачає зміст. Дійсно, якщо невизначеність швидкості електрона співмірна з самою швидкістю, тобто

, то невизначеність координати , що співмірно з розміром атома. А отже, електрон “розмазаний” по всьому об’ємі атома.

Пара “координата-імпульс” у співвідношенні (6.12) не є випадковою, оскільки вона входить як добуток в рівняння плоскої хвилі де Бройля (6.11), представлене у вигляді

. (6.13)

І тому слід очікувати, що і для іншої пари “енергія-час” матиме місце співвідношення невизначеності

, (6.14)

де

має зміст тривалості перебування (часу життя) мікрочастинки в певному стані. Зокрема, для основного стану електрона у воднеподібному атомі і тому , тобто енергетичний рівень основного стану нерозмитий.

§ 6.3. Хвильова функція та її зміст. Рівняння Шрьодінгера

Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії встановлює межі застосування класичної механіки, і для опису мікросвіту використовуються закони квантової механіки, в якій стан мікрочастинок задається вже не координатами та імпульсами, а хвильовою функцією

. Зокрема, для вільної одновимірної частинки хвильовою функцією є плоска хвиля де Бройля, яку представимо тут у комплексній формі:

, (6.15)

де

. Помноживши на комплексно спряжену функцію , отримаємо

.

З точки зору хвильових уявлень квадрат амплітуди хвилі визначає її інтенсивність; з точки зору корпускулярних уявлень – це ймовірність виявити мікрочастинку в певній області простору. Отже, фізичний зміст має не сама хвильова функція, а вираз

, який називається густиною імовірності. Імовірність знайти частинку в елементарному об’ємі становить

. (6.16)

Для частинок, які не є вільними, хвильова функція не представляється хвилею де Бройля, але її ймовірнісна інтерпретація залишається в силі.

Оскільки імовірність повинна бути однозначною, неперервною і скінченною, то на хвильову функцію накладаються наступні стандартні вимоги:

1) вона повинна бути однозначною, неперервною і скінченною;

2) перші похідні від хвильової функції по координатах і часу також повинні бути неперервними, що забезпечить “гладкість” імовірності;

3) вона повинна бути інтегрованою; зокрема,

, як імовірність знайти частинку в будь-якій точці простору V (імовірність вірогідної події).

Для знаходження хвильової функції конкретного квантовомеханічного об’єкту необхідно розв’язати рівняння Шрьодінгера (1926 р.)

, (6.17)

яке є аналогом ІІ закону Ньютона класичної механіки. В цьому рівнянні

– (6.18)

оператор Гамільтона або оператор повної енергії частинки, де m – маса частинки,

– оператор Лапласа:

, (6.19)

U – оператор потенціальної енергії, дія якого зводиться до простого множення на хвильову функцію.

Якщо потенціальна енергія частинки явно не залежить від часу, тобто

, то квантовомеханічна задача називається стаціонарною. І хвильову функцію можна представити у вигляді .

Координатнозалежну складову хвильової функції знаходять із розв’язку рівняння Шрьодінгера для стаціонарних станів

, (6.20)

де параметр Е має зміст енергії частинки.

Розв’язок цього диференційного рівняння задовільняє стандартні вимоги до хвильової функції, як правило, не при усяких, а дозволених (дискретних) значеннях параметра Е. Ці значення Е називаються власними значеннями оператора

, а відповідні хвильові функції – власними функціями цього оператора. В кожному конкретному випадку потрібно задати аналітичну форму оператора (6.18), тобто побудувати потенціальну модель квантомеханічного об’єкту.

§6.4. Частинка в одновимірній прямокутній потенціальній ямі (ящику). Проходження частинки через потенціальний бар’єр

Усякий зв’язаний стан частинки (електрон в атомі, вільний електрон в металі, нуклон в ядрі тощо), тобто стан з від’ємною потенціальною енергією, можна описати поняттям потенціальної ями.

Розглянемо найпростіший випадок, коли частинка масою m перебуває в одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною l .Оскільки початок відліку потенціальної енергії можна вибирати довільно, то задачу про “яму” замінимо задачею про “ящик”, на дні якого потенціальна енергія дорівнює нулю, а стінки якого нескінченно високі (мал.6.3). Оператор Гамільтона

(6.18) для цього випадку має вигляд

, (6.21)

де

Всередині ящика рівняння Шрьодінгера запишеться як

. (6.22)

Розв’язок цього рівняння, з врахуванням стандартних вимог, зокрема,

, має вигляд

, (6.23)

де n=1,2,3,… – квантове число стану частинки. Енергія частинки в різних квантових станах

, (6.24)

тобто приймає не довільні, а дискретні значення Е1, Е2, Е3, …, зображені на мал.6.3 відповідними енергетичними рівнями. Густина імовірності

залежить від координати частинки, при цьому по різному в кожному квантовому стані.

Відстань між сусідніми енергетичними рівнями

. (6.25)

Зокрема, для електрона в ямі шириною l

, яка співмірна з розміром атома, отримаємо В цей же час для макрооб’єктів, коли mil – дуже великі, відстань між рівнями стає зникаюче малою, і тому квантуванням енергії можна знехтувати. Задача про частинку в потенціальній ямі скінченної глибини має дещо складніший розв’язок, але висновок про квантування енергії залишається в силі і в цьому випадку.

Спорідненою до описаної є задача про проходження частинки через потенціальний бар’єр шириною lі висотою U0 (мал.6.4). Якщо частинка класична, то вона пролітає над бар’єром, коли Е>U0, і відбивається від нього, коли Е<U0, бо проникнення під бар’єр означало б, що її кінетична енергія від’ємна.

Для квантовомеханічної мікро-частинки розв’язок рівняння Шрьодінгера дає, що хвильові функції в усіх трьох областях (

відмінні від нуля, тобто мікрочастинка проникає під бар’єр і за бар’єр. Це явище називається тунелюванням. Від’ємні значення кінетичної енергії в області ІІ не можуть турбувати, бо в квантовій механіці, в силу дії співвідношення Гайзенберга (§ 6.2), кінетична енергія , як і потенціальна енергія U(x), не є точно визначеними. Прозорість бар’єру тим більша, чим менша його ширина і висота, а також, чим менша маса частинки, тобто ефект тунелювання помітний лише в мікросвіті.