Фізика атомів і молекул (стр. 1 из 2)

РЕФЕРАТ

на тему:”Фізика атомів і молекул”

План

1. Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова функція. Квантові числа.

2. Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів. Правила відбору.

3. Механічний і магнітний моменти атома водню.

1. Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова

функція. Квантові числа

Теорія Бора будови й властивостей енергетичних рівнів електронів у водневоподібних системах знайшла своє підтвердження у квантовій механіці. Квантова механіка також стверджує, що:

a) електрони в атомах водню знаходяться лише в дискретних енергетичних станах. При переході електронів з одних станів в інші випромінюється або поглинається фотон;

б) не існує певних колових орбіт електронів. В силу хвильової природи електрони «розмиті» в просторі подібно до хмарки негативного заряду. Розміри й форму такої хмарки в заданому стані можна розрахувати.

Розглянемо рух електрона в кулонівському полі ядра із зарядом Ze, потенціальна енергія якого виражається формулою

, (1)

де r – відстань між електроном і ядром.

Стан електрона в атомі водню або водневоподібному атомі описується деякою хвильовою функцією , яка задовольняє стаціонарне рівняння Шредінгера:

, (2)

де

― оператор Лапласа; Е ― значення повної енергії електрона в атомі; m ― маса частинки; _(x,y,z) ― хвильова функція у декартовій системі координат.

Для розв’язування рівняння Шредінгера (2), тобто знаходження виду хвильової функції для електрона в атомі водню слід перейти від декартових координат до сферичних. У цьому випадку зв’язок між параметрами цих систем координат визначається з рис. 1.12.

Співвідношення, які пов’язують координати x,y,z декартової прямокутної системи координат із сферичними координатами r, ,  такі:

(3)

Рис. 1.

Таким чином можна вважати, що хвильова функція  електрона в атомі водню залежить від сферичних координат, тобто r,  .

Опустивши досить громіздкі перетворення переходу від декартової системи координат до сферичної, одержимо:

. (4)

Якщо розглядати основний (не збуджений) стан атома водню, то другою й третьою складовими в лівій частині рівняння (4) можна знехтувати. Електрон в такому стані рухається лише по коловій траєкторії і хвильова функція не залежить від  і . Тому

. (5)

Хвильова функція  електрона в основному стані (5) є функцією лише r, тобто  r). Такий стан називається s-станом; він має сферично-симетричний характер. Імовірність виявити електрон у заданій точці атома залежатиме лише від r. Умовам стаціонарного стану відповідає центральносиметрична функція, що легко диференціюється і має вигляд:

, (6)

де a─ деяка стала величина, яка має розмірність довжини.

Необхідні похідні від (6) підставимо в (5). Після скорочення на

одержимо:

. (7)

Рівність (7) має місце для будь-яких значень r при виконанні таких умов:

(8)

Розв’язавши систему рівнянь (8) відносно а і Е одержуємо:

(9)

(10)

Покажемо, що вираз (9) є найбільш імовірною відстанню електрона в атомі водню до ядра. Імовірність знайти електрон на відставні r від ядра, точніше в інтервалі відстаней від r до r+dr, тобто в кульковому шарі з обємом dV=4r² dr, дорівнює:

. (11)

З урахуванням (6), хвильової функції основного стану маємо:

, (12)

де

― густина імовірності.

Дослідимо вираз густини імовірності на максимум, тобто похідну від (r) прирівняємо до нуля

,

звідки

r=a. (13)

Цей результат є окремим випадком загального висновку: борівські орбіти електрона в атомі водню є геометричними місцями точок, у яких із найбільшою імовірністю можна виявити електрон.

Залежність густини імовірності (r) виявлення електрона на різних відстанях від ядра показана на рис. 2.

За теорією Бора імовірність виявлення електрона у стані з n=1 відмінна від нуля лише для r=a, а згідно з висновками квантової механіки ця відстань є лише найбільш імовірною.

Рис. 2

Теорія Бора дає можливість визначити значення енергії електрона в будь-якому енергетичному стані, а також радіус відповідних борівських орбіт:

, (14)

, (15)

де m― маса електрона; e ― заряд електрона; ₀ ― діелектрична проникність вакууму;

― стала Планка, поділена на 2; n=1,2,3,...─ головні квантові числа.

Зіставлення (9) і (15), а також (10) і (14) показують, що висновки квантової механіки й теорії Бора повністю збігаються. Цей збіг підкреслює значну історичну роль теорії Бора, яка ще не є квантовою, однак і не класичною теорією.

Хвильові функції для наступних основних двох енергетичних рівнів електронів у атомі водню мають вигляд

, (16)

. (17)

Ці хвильові функції також є розвязками рівняння (5) при умові, що

і . Можна показати, що формула (14) є значенням енергії електрона на будь-якому енергетичному рівні. Однак для повного пояснення стану електрона в атомі водню необхідні ще два квантові числа, які входять у відповідні рівняння хвильових функцій і які характеризують момент імпульсу електрона в атомі.

Для збуджених атомів хвильові функції не є центрально симетричними і залежать не лише від r, а й від  і . Ці хвильові функції містять три цілочислові параметри, які називають квантовими числами. Серед них:

n ― головне квантове число, квантує енергію електрона – збігається з аналогічним квантовим числом теорії Бора і набуває значень від 1 до ;

l ― орбітальне квантове число, квантує момент імпульсу

. (18)

Орбітальне квантове число набуває значень l=0,1,2,... .

m_l― магнітне квантове число, квантує проекцію орбітального моменту імпульсу на вісь Z напрямку зовнішнього магнітного поля

. (19)

Магнітне квантове число набуває значень m_l= 0,±1,±2,±3,... .

2. Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.

Правила відбору

Знаючи кількісне співвідношення для енергії електрона на енергетичному рівні в атомі водню, можна розрахувати весь його спектр. Нехай енергія більш високого збудженого енергетичного рівня дорівнює

(20)

а енергія нижчого рівня

. (21)

Частоти, які відносяться до різних спектральних серій, можна записати у вигляді

,

або врахувавши, що

, одержимо

(22)

Серія спектральних ліній, для якої n₁=1, називається серією Лаймана. Усі лінії цієї серії розміщені в ультрафіолетовій областей спектра електромагнітного випромінювання. У випадку, коли n₁=2, виникає друга серія випромінювання, яка називається серією Бальмера. Перші чотири лінії цієї серії знаходяться у видимій області спектра. Інші спектральні лінії цієї серії перебувають на межі видимої й ультрафіолетової областей спектра.

Формула (22) називається формулою Бальмера. У цій формулі вираз перед дужками є сталою величиною, яку називають сталою Рідберга. Стала Рідберга R розрахована з великою точністю. Її величина дорівнює