Термодинаміка і синергетика (стр. 6 из 8)
dni
¾= Кni(N + åRkSik - ni) - dni( 2.13 )å
dtдо
де Rkвага даної до - ой функції, її значущість. Економічна функція змінюється із зростанням чисельності : визначається попитом на до - й продукт в i - й області залежно від збільшення чисельності населення і конкуренції підприємств в інших зонах міста. Появу нової економічної функції грає роль соціально економічній флуктуації і порушує рівномірний розподіл щільності населення. Такі чисельні розрахунки по логістичних рівняннях можуть бути корисні прогнозуванні багатьох проблем.
У розглянутих прикладах в літературі є лише загальні виводи і висновки, не приведені конкретні аналітичні розрахунки або чисельні.
Метою справжньої дипломної роботи є аналітичні і чисельні дослідження самоорганізації різних систем.
РОЗДІЛ 3. АНАЛІТИЧНІ І ЧИСЕЛЬНІ ДОСЛІДЖЕННЯ САМООРГАНІЗАЦІЇ РІЗНИХ СИСТЕМ
3.1 ОСЕРЕДКИ БЕНАРА
Для того, щоб експериментально вивчити структури, досить мати сковороду, трохи масла і якою ні будь дрібний порошок, щоб було помітно рух рідини . Наллємо в сковороду масло з розмішаним в нім порошком і підігріватимемо її знизу (мал. 3.1)
Мал. 3.1. Конвективні осередки Бенара
Якщо дно сковороди плоске і нагріваємо ми її рівномірно, то можна вважати, що у дна і на поверхні підтримуються постійні температури, знизу - Т1, зверху - Т2 . Поки різниця температури DТ = Т1 - Т2 невелика, частинки порошку нерухомі, а отже, нерухома і рідина .
Плавно збільшуватимемо температуру Т1. Із зростанням різниці температур до значення DТc спостерігається все та ж картина, але коли DТ >DТc, все середовище розбивається на правильні шестигранні осередки (див. Мал. 3.1) в центрі кожної з яких рідина рухається вгору, по кроях вниз . Якщо узяти іншу сковороду, то можна переконатися, що величина виникаючих осередків практично не залежить від її форми і розмірів . Цей чудовий досвід вперше був виконаний Бенаром на початку нашого століття, а самі осередки отримали назву осередків Бенара.
Елементарне якісне пояснення причини руху рідини полягає в наступному . Із-за теплового розширення рідина розшаровується, і в більш нижньому шарі щільність рідини r1 менше, ніж у верхньому r2 . Виникає інверсний градієнт щільності, направлений протилежно силі тяжіння . Якщо виділити елементарний об'єм V, який трохи зміщується вгору в наслідку обурення, то в сусідньому шарі архімедова сила стане більше сили тяжіння, оскільки r2>r1 . У верхній частині малий об'єм, зміщуючись вниз, потрапляє в область зниженої щільності, і архімедова сила буде менше сили тяжіння FA < FT, виникає низхідний рух рідини. Напрям руху низхідного і висхідного потоків в даному осередку випадково, рух же потоків в сусідніх осередках, після вибору напрямів в даному осередку детерміновано. Повний потік ентропії через межі системи негативний, тобто система віддає ентропію, причому в стаціонарному стані віддає стільки, скільки ентропії проводиться усередині системи (за рахунок втрат на тертя).
dSeq q T1 - T2
¾= ¾ - = q *¾¾¾ < 0 (3.1)*¾¾¾
dtT2T1T1*T2
Освіта саме стільникової комірчастої структури пояснюється мінімальними витратами енергії в системі на створення саме такої форми просторової структури . При цьому в центральній частині осередку рідина рухається вгору, а на її периферії - вниз.
Подальше надкритичне нагрівання рідини приводить до руйнування просторової структури - виникає хаотичний турбулентний режим.
Мал. 3.2. Ілюстрація виникнення теплової
конвекції в рідині .
3.2 ЛАЗЕР, ЯК СИСТЕМА, ЩО САМООРГАНИЗУЄТЬСЯ
У другому розділі це питання ми вже розглядали . Тут же, розглянемо просту модель лазера.
Лазер - це пристрій, в якому в процесі випромінювання, що стимулює, породжуються фотони.
Зміна з часом числа фотонів n, або іншими словами, швидкість породження фотонів, визначається рівнянням вигляду :
dn / dt= «Приріст» - «Втрати» (3.2)
Приріст обумовлений так званим що стимулює випромінюванням . Він пропорційний числу вже наявних фотонів і числу збуджених атомів N . Таким чином :
Приріст = G N n (3.3)
Тут G - коефіцієнт посилення, який може бути отриманий з мікроскопічної теорії . Член, що описує втрати, обумовлений відходом фотонів через торці лазера . Єдине допущення, яке ми приймаємо, - це те, що швидкість відходу пропорційна числу наявних фотонів. Отже
Втрати = 2nc (3.4)c
2c = 1/ t0, де t0 - час життя фотона в лазері .
Тепер слід врахувати одну важливу обставину, яка робить (2.1) нелінійним рівнянням вигляду :
(3.5)Число збуджених атомів зменшується за рахунок випускання фотонів . Це зменшення DN пропорційно числу наявних в лазері фотонів, оскільки ці фотони постійно примушують атоми повертатися в основний стан .
DN = an (3.6)a
Таким чином, число збуджених атомів рівне
N = N0 - DN (3.7)D
де N0 - число збуджених атомів, підтримуване зовнішньою
накачуванням, у відсутності лазерної генерації.
Підставляючи (3.3) - (3.7) в (3.2), отримуємо основне рівняння наший спрощеній лазерній моделі :
(3.8)де постійна до дає вираз :
k1= aG
до = 2 c- GN0>< 0 (3.9)
Якщо число збуджених атомів N0(створюваних накачуванням) невелике, то до позитивно, тоді як при достатньо великих N0до - може стати негативним . Зміна знаку відбувається коли
GN0= 2c (3.10)c
Ця умова є умова порогу лазерної генерації .
З теорії біфуркації виходить, що при до > 0 лазерної генерації немає, тоді як при до < 0 лазер випускає фотони.
Нижче або вище за поріг лазер працює в здійснено різних режимах .
Вирішимо рівняння (3.8) і проаналізуємо його аналітично :
- це рівняння одномодового лазера .
Запишемо рівняння (3.8) в наступному вигляді :
Розділимо початкове рівняння на n2 .
і введемо нову функцію Z :
1/n = n-1 = Z ÞZ1 = - n-2 отже рівняння прийме вигляд :
перепишемо його в наступному вигляді :
розділимо обидві частини даного рівняння на -1, отримаємо
(3.11)Рівняння (3.11) - це рівняння Бернуллі, тому зробимо наступну заміну
Z = UV×, де U і V невідомі поки функції n, тоді Z1 = U1 V + U V1 .
Рівняння (3.11), після заміни змінних, приймає вигляд
U1 V + UV1 - до UV= k1
перетворимо, отримаємо
U1 V + U(V1 - до V)= k1 (3.12)
Вирішимо рівняння (3.12)
V1 - до V = 0 ® dV/dt = до V
зробимо розділення змінних
dV/V =k dt®ln V = до t
результат V = ekt(3.13)
Звідси ми можемо рівняння (3.12) переписати у вигляді :
U1 ekt= k1- це те ж саме, що dU/dt = k1e-kt, dU = k1e-ktdtвиразимо звідси U, отримаємо
(3.14)По рівнянню Бернуллі ми робили заміну Z = U V підставляючи рівняння (3.13) і (3.14) в цю заміну, отримаємо
Раніше вводили функцію Z = n-1, отже
(3.15)Початкова умова n0=1/(c-k1/k), з цієї умови ми можемо визначити константу з наступним чином
Підставляючи, знайдену нами константу в рівняння (3.15), отримаємо
(3.16)Досліджуємо функцію (3.16) при до = 0, до < 0, до > 0 .
При k0 ®; ekt® 0 ; (ekt - 1)®0, тобто (ekt - 1)×k1/k0®×¥ (невизначеність), розкриємо цю невизначеність за правилом Лопіталя . Цю невизначеність вигляду 0¥ слід привести до вигляду
. При цьому, як і завжди при застосуванні правила Лопіталя, по ходу обчислень рекомендується спрощувати вирази, що вийшли, таким чином : 
n(k)при k0®® 0, отже
Перепишемо (3.16) в наступному вигляді
Лінеарізуєм нелінійне рівняння, отримаємо
ln n = - kt + з Þ 
Побудуємо графік для цих умов
Мал. 3.3 До самоорганізації в одномодовому лазері :
крива 1 : до < 0, режим лазерної генерації
крива 2 : до = 0, точка біфуркації, поріг
крива 3 : до > 0, режим лампи.
При до = 0 рівняння (3.8) прийме вигляд
