Термодинамические основы термоупругости (стр. 8 из 11)

Для реальных упругопластических сред характерны диаграммы механического поведения (диаграммы деформирования)

подобные диаграмме, приведенной на рис. 1, в для мягкой стали (типа стали 10). В ряде случаев диаграммы деформирования реальных металлов могут несколько отличаться от показанной на рис. 1,в в сторону усложнения (например, включать участок нелинейной упругости) или в сторону упрощения (например, для некоторых металлов отсутствует площадка текучести и после упругого участка сразу происходит переход к участку упрочнения) и включать дополнительные характерные точки: в первом случае такой точкой является предел упругости, больший предела пропорциональности, а во втором — условный предел текучести, соответствующий заданному уровню остаточной пластической деформации. Однако при построении модели упругопластической среды, как правило, пренебрегают такими тонкими особенностями и рассматривают идеализированные диаграммы механического поведения, подобные показанным на рис.1. Наиболее часто в качестве таких идеализированных диаграмм механического поведения рассматриваются диаграммы для идеальной упруго-пластической среды, для которой пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности ассоциируются с одним и тем же значением (рис.1,а) и для упругопластической среды с линейным (рис.1,б) или нелинейным (рис. 1, в) упрочнением.

Рисунок 1

Возможными вариантами упрощенных диаграмм механического поведения являются диаграммы идеальной жесткопластической среды (рис.1,г) или жесткопластической среды с упрочнением (рис. 1, д), причем для двух последних случаев характерно отсутствие упругого участка (упругими деформациями по сравнению с пластическими пренебрегают).

Модель упругопластической среды является сложной не только по формальному признаку (принимаются во внимание свойства упругости и пластичности), но и с точки зрения уровня сложности математического описания. Отметим, что в случае малых деформаций (превышающих упругие, но соизмеримых с ними) модель упругопластической среды хорошо описывается деформационной теорией пластичности (теория малых упругопластических деформаций). При больших (конечных) деформациях для описания поведения упругопластических сред более предпочтительна теория пластического течения.

2.2 Постановка задач в механики сплошных сред

Прикладное значение механики сплошных сред заключается в том, что она создает фундамент для физико-математического моделирования процессов взаимодействия деформируемых тел и сред. С помощью формулируемых в механике сплошных сред уравнений и соотношений удается составить замкнутую систему уравнений, решение которых позволяет исследовать поведение деформируемых сред и получать информацию о параметрах их движения и состояния. В настоящее время именно физико-математическое моделирование с позиций механики сплошных сред является наиболее мощным инструментом расчетно-теоретического исследования функционирования различных технических объектов, как существующих, так и проектируемых. В качестве примеров прикладных задач, необходимость решения которых возникает при изучении функционирования газодинамических импульсных устройств, можно указать задачи обтекания тел вращения воздушным потоком (рис. 2, а), проникания тел вращения в плотные и прочные среды (рис. 2, б, в), метания металлических облицовок продуктами детонации взрывчатого вещества (рис. 2, г), схлопывания конических металлических облицовок под действием приложенного давления с формированием кумулятивной струи (рис. 2, д) и т.п.

Однако решению задачи обязательно предшествует весьма важный этап формализации рассматриваемого физического процесса: его описание в виде соответствующей системы

Рисунок 2

уравнений, соотношений и определенных условий, т.е. решению задачи предшествует так называемая постановка задачи или же формулировка физико-математической модели изучаемого процесса взаимодействия деформируемых тел или сред. Далее приведем общие принципы постановки задач механики сплошных сред с различными физико-механическими свойствами и последовательно проанализируем особенности постановки задач механики идеальной и вязкой жидкостей, упругой и упругопластической сред. При этом основное внимание уделим этапам составления замкнутой системы исходных уравнений, получению системы разрешающих уравнений и различных частных ее видов, особенностям задания граничных условий. Постановку задачи механики упругопластической среды рассмотрим в полном объеме на примере процесса проникания металлического тела в металлическую преграду.

Постановка задачи механики сплошных сред заключается в составлении такой замкнутой системы уравнений и соотношений, которая бы описывала движения и состояние деформируемых сред с учетом их физико–механических свойств, действия внешних сил, тепловых и других факторов и позволяла определять зависимости характеризующих движение и состояние физических величин от координат и времени

и т.п.

Постановка любой задачи механики сплошных сред включает следующие пять этапов:

— выбор системы отсчета и системы координат, по отношению к которым будет описываться движение материального континуума;

— выбор моделей сплошных сред для участвующих в исследуемом процессе реальных деформируемых сред;

— составление системы исходных уравнений для выбранных моделей и исследуемого процесса;

— выбор основных неизвестных характеристических функций и переход к так называемой системе разрешающих уравнений;

— формулировка начальных и граничных условий для решаемой задачи.

2.2.1 Выбор системы отсчета и системы координат. В большинстве случаев при постановке прикладных задач выбираются инерциальные системы отсчета, неподвижные относительно земной поверхности. Как известно, выбор такой системы отсчета позволяет использовать при математическом описании движения законы механики Ньютона, в частности уравнение движения (2.1.2), являющееся выражением второго закона Ньютона применительно к сплошным деформируемым средам. Например, для показанного (на рис. 2, б) случая проникания тела вращения в плотную среду в качестве точки отсчета удобно принять неподвижную относительно Земли точку 0 начала взаимодействия проникающего тела с плотной средой. В некоторых более редких случаях допустимо и более удобно использование неинерциальных систем отсчета. Например, при решении задачи расчета характеристик напряженно-деформированного состояния проникающего тела — оболочки вращения — и оценке его прочности удобнее связать систему отсчета с самим тормозящимся в процессе проникания телом. Однако в этом случае в соответствии с принципом Даламбера следует включить в число внешних сил объемные силы инерции, для чего необходимо предварительное определение ускорения проникающего тела.

Выбор конкретного вида системы координат

произволен и определяется, прежде всего, соображениями удобства и простоты математического описания движения. Так, при решении задачи пространственного обтекания тела воздушной средой (см. рис. 2, а) все параметры движения и состояния газа зависят от трех координат и времени (трехмерная нестационарная задача). В этом случае целесообразно выбрать наиболее простую систему координат — декартову прямоугольную систему координат (х1 = х, х2 = у, х3 = z). При проникании тела вращения в преграду по нормали к ней (см. рис. 2, б) очевидна осевая симметрия движения, в этом случае наиболее целесообразен выбор цилиндрической системы координат (х1 = r, х2 = , х3 = z), в которой вектор скорости движения частиц имеет лишь две отличные от нуля компоненты υT и υZ а также отсутствует зависимость параметров движения и состояния деформируемой среды от угловой координаты (двумерная осесимметричная нестационарная задача). В еще более геометрически простом случае взрыва сферического заряда, инициируемого в центре, движение обладает точечной симметрией, поэтому наиболее удобно принять для описания движения сферическую систему координат (х1 = r, х2 = , х3 = φ), которая обеспечивает зависимость параметров движения и состояния среды лишь от одной радиальной координаты rи времени t (одномерная нестационарная задача с центральной симметрией).

2.2.2 Выбор модели сплошной среды и составление системы исходных уравнений. Выбор модели сплошной среды для участвующей в исследуемом процессе реальной деформируемой среды базируется на анализе особенностей поведения этой среды в отношении сопротивления деформированию, на выделении основных факторов и игнорировании второстепенных. Этап выбора модели заканчивается определением конкретного вида физических соотношений (2.1.7), ближе всего соответствующих особенностям физико-механического поведения реальной деформируемой среды.

Например, при решении прикладной задачи проникания тела вращения в воду с относительно небольшой начальной скоростью взаимодействия

100 м/с в качестве модели реальной деформируемой среды (воды) вполне допустимо принять модель идеальной жидкости. Действительно, реальные жидкости обладают свойством сжимаемости и вязкости и в то же время не оказывают сопротивления непосредственно изменению формы своих частиц. При малых скоростях деформации, соответствующих малым скоростям взаимодействия, можно также пренебречь влиянием вязкости и вообще не учитывать появление касательных напряжений, используя для описания физико-механического поведения физические соотношения , присущие модели идеальной среды.