Термодинамические основы термоупругости (стр. 7 из 11)
Так, из экспериментов по всестороннему сжатию твердых тел при малых объемных деформациях устанавливается прямо пропорциональная зависимость среднего напряжения от средней деформации, выражаемая уравнением Бриджмена (2.1.8) и определяющая физическое поведение упругой среды.
(2.1.8)В более общем случае, с учетом влияния температуры, физическое поведение упругой среды описывается уравнением Дюамеля — Неймана:
(2.1.9)К — модуль объемного сжатия;
— коэффициент линейного теплового расширения материала;Т и
— соответственно текущая и начальная температуры материала.Уравнение Дюамеля — Неймана может быть представлено в более "прозрачном" для понимания виде:
, показывающем, что вклад в объемную деформацию 
при деформировании индивидуальных частиц упругой среды вносят всестороннее сжатие или растяжение и нагрев, при этом влияние фактора нагрева проявляется в зависимости от коэффициента объемного теплового расширения 
.Вто же время из экспериментов по кручению тонкостенных металлических труб, в индивидуальных частицах среды реализуется напряженно-деформированное состояние чистого сдвига, устанавливается прямо пропорциональная зависимость касательных напряжений от сдвиговых деформаций, приводящая к выводу о существовании следующей взаимосвязи между девиаторами напряжений деформаций:
(2.1.10)где G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига).
Уравнение (3.21) принимается в качестве определяющего механическое поведение упругой среды. Из уравнения (3.21) следует скалярное определяющее уравнение — прямо пропорциональная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций:
Из определяющих уравнений (3.12)(или (3.20)) и (3.21) следуют физические соотношения для моделей упругой среды,принимающие форму обобщенного закона Гука. Компоненты девиатора напряжений (см. (3.21)) могут быть выражены через компоненты девиатора деформаций как
. Отсюда в случае выражения среднего напряжения σ через среднюю деформацию ε из уравнения Бриджмена (3.12) следуют прямые физические соотношения в виде зависимостей компонент тензора напряжений от компонент тензора деформаций: 
(2.1.11)Обратные физические соотношения (зависимости компонент тензора деформаций от компонент тензора напряжений) получаются аналогичным образам и имеют вид
(2.1.12)Обобщенный закон Гука описывает все частные проявления упругого поведения деформируемых сред, реализующиеся в простых случаях напряженно-деформированного состояния. Так, для деформированного состояния чистого сдвига (ε12
0,ε11 = ε22 = ε33 = ε13 = ε23 =0) согласно (2.1.12) реализуется напряженное состояние σ12 = 2Gε12,σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = σ23 =0 с прямо пропорциональной зависимостью касательных напряжений от сдвиговых деформаций. Деформированному состоянию всестороннего равноосного растяжения или сжатия ε11 = ε22 = ε33 = ε 0, εij = 0 при i j) соответствует такое же напряженное состояние: σ11 = σ22 = σ33 = σ = 3Kε, σ12 = σ13 = σ23 =0.Напряженному состоянию одноосного растяжения (σ11 0, σ22 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0, σ = σ11/3 отвечает трехосное деформированное состояние: εij = 0 при i j и 
(2.1.13) 
где Е = 18KG/(6K + 2G) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга), av = (ЗК - 2G)/(6K + 2G) — коэффициент Пуассона.
Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v в дополнение к модулю сдвига G и модулю объемного сжатия К являются еще одной парой упругих характеристик, через которые может быть представлен обобщенный закон Гука. Выражая модуль объемного сжатия и модуль сдвига через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как
, 
(2.1.14)можно получить запись физических соотношений для моделей упругой среды в форме
; 
.Следует отметить, что имеющаяся взаимосвязь между парами упругих характеристик (2.1.14) позволяет ограничиться экспериментальным определением лишь двух из них с последующим расчетом двух других. Наиболее просто определяются из опытов значения модуля Юнга Е (одноосное растяжение образцов) и модуля сдвига G (кручение образцов с реализацией напряженно-деформированного состояния чистого сдвига).
Уравнения (2.1.8), (2.1.10) и (2.1.13) позволяют истолковать физический смысл упругих характеристик G, E, v, К. Как следует из (2.1.10), модуль сдвига G определяет касательные напряжения, возникающие в упругой среде при чистом сдвиге. В соответствии с (2.1.13) модуль Юнга Е определяет продольные деформации, возникающие при одноосном растяжении, а коэффициент Пуассона v — соотношение поперечной и продольной деформаций в этом же случае. Согласно уравнению Бриджмена (2.1.8), модуль объемного сжатия К определяет среднее напряжение в зависимости от объемной деформации в и, напротив, характеризует объемную деформацию, возникающую в частицах упругой среды, когда в них существует давление р = — σ:
= Зε = σ/К.Важным частным случаем модели упругой среды является так называемая несжимаемая упругая среда, объем индивидуальных частиц, которой не изменяется при любом уровне давления (или среднего напряжения). Для такой среды
, модуль объемного сжатия К = ∞, а коэффициент Пуассона v = 0,5 в соответствии с (2.1.14). Для реальных же твердых тел, обладающих сжимаемостью и по своим свойствам близких к модели упругой среды, коэффициент Пуассона v = 0,2...0,3.Термодинамические особенности модели упругой среды определяются тем обстоятельством, что процесс адиабатического деформирования ее частиц является обратимым и в случае снятия нагрузок сопровождается самопроизвольным протеканием в обратном направлении с уменьшением до нуля напряжений и деформаций и возвратом в исходное состояние. Для такой среды отсутствует переход механической работы деформации во внутреннюю тепловую энергию (χ = 0), энтропия индивидуальных частиц может изменяться только за счет теплообмена с окружающими частицами:
. Деформирование же упругой среды в адиабатических условиях ( 
) имеет изоэнтропический характер dS/dt =0.Под сложными моделями сплошных сред понимаются модели, в которых учитываются два и более основных механических свойства. К числу таких моделей относятся, например, упругопластическая, вязкоупругая, вязкопластическая, упруговязкопластическая среды. В этом разделе рассматривается одна из сложных моделей — модель упругопластической среды, наиболее широко используемая при математическом моделировании процессов деформирования твердых тел. Модель упругопластической среды соответствует твердым телам (главным образом, металлам и их сплавам), которые при нагружении работают упруго, пока не выполняется некоторое предельное условие, называемое условием пластичности, а при дальнейшем нагружении такой среды в ней развиваются не только упругие, но и пластические деформации.