Термодинамические основы термоупругости (стр. 5 из 11)

Представления общего решения. Связанная задача термоупругости при малом термическом возмущении описывается системой уравнений (1.2.12) и (1.2.13) при начальных и граничных условиях.

При объемной силе

= grad П + rot (1.3.1)

известно следующее представление общего решения уравнений (1.2.12) и (1.2.13):

и =grad

+ rot (1.3.2)

□ ,

в котором скалярная Ф и векторная

функции удовлетворяют уравнениям

□

□ ; ( 1.3.3)

□

(1.3.4) где

□

= □ = (n= 1,2);(1.3.5)

ε — параметр связанности, имеющий значение;

с1 и с2 — скорость распространения упругой волны соответственно расширения и искажения (см. выражения (1.3.6)). При ε = 0 и П = 0 уравнение (1.3.3) на основании уравнения (1.3.31) переходит в (1.3.7)

, (1.3.6)

□

(1.3.7)

а при

= 0 уравнение (1.3.4) переходит в уравнение (1.3.8) динамической задачи термоупругости.

□

(1.3.8)

Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [52] (на случай связанной задачи термоупругости):

= grad + □ - graddiv (1.3.9)

□

где функция

и удовлетворяют уравнениям

□

□ □ div (1.3.10)

□

□ (1.3.11)

Как и в динамической задаче термоупругости, представление (1.3.9) при отсутствии объемных сил можно преобразовать к представлению (1.3.2). Действительно, если в представление (1.3.9) и уравнение (1.3.10) внести выражения

,

div (1.3.12)

в которых

— частное решение неоднородного уравнения (1.3.11), и - решения уравнений

□

, □ (1.3.13)

Ф'— новая скалярная функция, то форма их не изменится, но вместо Ф и

в представлении (1.3.9) возникают Ф' и , а в уравнении (1.3.10) Ф' и . На основании второго уравнения (1.3.13) и тождества

graddiv

= + rotrot

при подстановке — rot

такое представления при = 0, П = 0, X = 0 (отсутствие объемных сил) переходит в представление (1.3.2).

Вводя в представление (1.3.9) и в уравнения (1.3.10) и (1.3.11) новые функции

div , □ (1.3.14)

где r— радиус-вектор, получаем обобщение известного представления П. Ф Папковича на случай связанной задачи термоупругости (1.3.14)

grad grad ; (1.3.15)

□ ,

в котором функция Ф,

, В0 удовлетворяют уравнениям

□

□ □ (1.3.16)

□

, □ (1.3.17)