Спектральный анализ колебаний (стр. 1 из 3)
Академия России
Кафедра Физики
Реферат на тему:
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ
Орел 2009
Содержание
Введение
Спектральный состав периодических колебаний
Анализ периодических колебаний
Частотный состав непериодического колебания
Библиографический список
Вступление
Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические функции. Их значение обусловлено рядом причин, основными из которых являются:
– гармонические сигналы инвариантны (не изменяются) относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой;
– техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста.
Кроме того, известно (курс математики), что любое негармоническое колебание, удовлетворяющее определенным условиям, можно представить в виде суммы гармонических колебаний. При этом говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала, а отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.
Спектральный состав периодических колебаний
Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодическое колебание
со следующим свойством: 
, n = 1, 2, …,где Т – период колебания.
Известно, что любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва функции существуют переходы от одного конечного значения к другому), может быть представлена рядом Фурье. Если ряд Фурье представлен в тригонометрической форме, то его запись имеет следующий вид:
, k = 0, 1, 2, …,где
.То есть периодическое колебание можно представить как сумму постоянной составляющей
и гармонических колебаний с частотами kw1 (гармоник), причем совокупность амплитуд гармоник 
называется спектром амплитуд колебания , а совокупность начальных фаз 
называется спектром фаз колебания .Очень часто используют комплексную форму ряда Фурье. Для перехода к этой форме воспользуемся формулой Эйлера:
.Тогда ряд Фурье запишется в виде
.Отсюда легко определяются комплексные амплитуды гармоник:
.Поскольку периодическое колебание
известного периода Т полностью описывается совокупностью амплитуд и фаз 
своих составляющих, то задание спектра такого колебания сводится к заданию его спектров амплитуд и фаз.Пример графического изображения спектров амплитуд
и фаз некоторого периодического колебания приведен на рисунке 1. 
Рис. 1. Графическое изображение спектров амплитуд и фаз колебания
Каждая частотная составляющая изображается на графике спектра одним вертикальным отрезком – спектральной линией. Длина отрезка определяет величину амплитуды
или начальной фазы , а местоположение отрезка на оси частот – частоту составляющей ( 
).Иногда пользуются и табличным способом задания спектра (табл. 1).
Таблица 1
| Частота | 0 |  |  |  |  |
| Амплитуда | |  |  |  |  |
| Начальная фаза | – |  |  |  |  |
Пример. Определить спектральный состав колебания, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов
с известными параметрами 
. 
Решение.
В радиотехнике отношение
называют скважностью последовательности. По формуле ряда Фурье в комплексной форме находим 
.Комплексная амплитуда
пропорциональна функции вида 
, график которой показан на рисунке 2. 
Рис. 2. График функции
Амплитуды гармоник определяются как модуль
: 
и пропорциональны функции вида
, график которой показан на рисунке 4. 
Рис. 4. График функции
График спектра амплитуд при
показан на рисунке 5. 
Рис. 5. График спектра амплитуд
Пунктирная линия, построенная по формуле
, называется огибающей спектра амплитуд, в которую вписываются амплитуды гармоник на своих частотах 
. Нули огибающей будут на тех частотах, на которых 
(n = 1, 2, 3, …),откуда
. Постоянная составляющая определяется как 
.В пределах первого лепестка огибающей спектра амплитуд (
) комплексная амплитуда положительна и вещественна, значит 
( 
). В области частот 
величина вещественна и отрицательна, значит 
( 
). Следовательно, начальные фазы гармоник изменяются на 180° при переходе через нули огибающей. График спектра фаз показан на рисунке 6.