Расчёты на устойчивость (стр. 2 из 3)

0,95F<js_admA< 1,05F.

Округляя до более технологичного размера, примем а = 32мм. В последнем примере данных методических указаний мы покажем другой подход к организации попыток подбора, при котором образуется некоторый сходящийся итерационный процесс.

Энергетический способ определения критических сил. Изложенные выше подходы, применимы тогда, когда условия закрепления стержня и способы приложения нагрузки простейшие [1]. В более сложных случаях интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси стержня достаточно громоздко и целесообразно воспользоваться приближённым энергетическим способом. Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F (Рис.4). Стержень на рисунке условно показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях оставим пока открытым.

y

qD

v

F F x

z dz F_п

l

Рис.4

Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую малую поперечную силу F_п , то стержень изогнётся, но будет находится в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила Fсовершит при этом работу на перемещении D, которое можно найти следующим образом. Укорочение малого элемента длиной dzбудет равно:

dD = dz-dzCosq = dz(1 -Cosq) = 2dzSin²(q/2)» ½dzq² .

Учтём, что угол поворота равен первой производной от прогиба: q=v¢ , тогда перемещение точки приложения силы D найдётся:

_l

D= ½ ò(v¢)²dz .

⁰

Потенциальная энергия изогнутого стержня выразится

_lM²dz_l

U = ò¾¾¾¾ = ½ òEI_x(v¢¢)²dz , здесь учтено, что M = EI_xv¢¢

⁰ 2EI_x ⁰

Изменение полной энергии стержня при малом изгибе будет складываться из потенциальной энергии деформации и изменения потенциала внешних сил на перемещении D.

Э = U-F×D

Если Э > 0, то состояние стержня устойчиво. Если же Э < 0, т.е. F×D>U, то сила производит работу большую, чем может накопиться в стержне в виде энергии упругой деформации. Избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше, т.е. состояние его неустойчиво. Очевидно, что критическому состоянию соответствует случай

F_cr×D = U , или

_ll

F_cr×½ ò(v¢)²dz = ½×òEI_x(v¢¢)²dz , откуда получим:

^{0 0}

_l

ò EI_x(v¢¢)²dz

⁰

F_cr = ¾¾¾¾¾¾¾ (4)

_l

ò (v¢)²dz

⁰

Для получения величины критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси v = v(z), удовлетворяющей граничным условиям задачи. С математической точки зрения (4) является функционалом, т.е.отображением из множества функций определённого класса (дважды дифференцируемых и удовлетворяющих граничным условиям) в множество действительных чисел.

Пример 3. Найдём критическую силу для стержня, шарнирно опёртого

по обоим концам (Рис.5). Точное решение в этом

F случае известно: F_cr = p²EI_x/ l²» 9,8696EI_x / l².

Если задаться функцией v = C×Sin(pz/l), то

получим точное решение. Допустим, что мы

l этого не знаемем и попробуем аппроксимировать

z изогнутую ось полимиальной функцией. Возьмём

для начала полином второй степени:

Рис.5

v = Az² + Bz + C (5)

Запишем граничные условия: 1) при z = 0: v = 0; 2) при z = l: v = 0. Подставляя в (5), получим:

С = 0; Al² + Bl = 0 ÞB = -Al.

Дифференцируя (5) и учитывая полученные выражения для коэффициентов, имеем:

v¢ = A(2z – l); v¢¢ = 2A.

Подставив в (4), имеем:

_l

4A²ò dz

⁰

F_cr = ¾¾¾¾¾¾ = 12EI_x / l².

_l

A²ò (2z – l )²dz

⁰

Мы видим, что полученное значение критической силы отличается от точного решения, более чем на 20%.

Известно, что чем выше степень аппроксимирующего полинома, тем выше точность решения. Аппроксимируем иэогнутую ось стержня полиномом четвёртой степени:

v = Az⁴ + Bz³ + Cz² + Dz + E (6)

1) при z = 0: v = 0;

2) при z = 0: M = EI_xv¢¢=0Þv¢¢ = 0;

3) при z = l : v = 0;

4) при z = l : M = 0 Þ v¢¢ = 0.

Возьмём производные от (6):

v¢ = 4Az³ + 3Bz² + 2Cz + D;

v¢¢ = 12Az² + 6Bz + 2C.

Реализуем граничные условия, получив при этом систему из четырёх алгебраических уравнений.

1) Þ Е = 0; 2) Þ С = 0; 3) ÞAl⁴ + Bl³ + Dl = 0; 4) Þ 12Al² + 6Bz =0 ÞB = - 2Al , подставляя это в предыдущее уравнение, имеем: D = Al³.

Подставляя это в выражения для производных, получим:

v¢ = A(4z³- 6lz² + l³); v¢¢ = 12A(z² – lz).

Подставив в (4),будем иметь:

_l

144A²EI_xò (z² – lz)²dz

⁰

F_cr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 168EI_x / (17×l²) » 9,8824EI_x / l² .

_l

A²ò (4z³ – 6lz² + l³)²dz

⁰

Как видим, полученное решение практически совпадает с точным. Обратим внимание на тот факт, что приближённые решения всегда дают завышенные значения критических сил. Это происходит по той причине, что в приближённом решении стержень - система с бесконечным числом степеней свободы, заменяется более жёсткой системой с конечным числом степеней свободы.

Пример 4. Найти критическую нагрузку для стержня, показанного на