Расчет установившегося режима работы электрической системы (стр. 3 из 4)

Запишем матрицу M:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
A	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
B	0	-1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
C	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
D	0	0	0	-1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
E	0	0	0	0	0	-1	1	1	0	0	1	0	0	0	1	0	0
F	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
G	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	0
H	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0
I	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	1	-1	0	0	0
J	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-1	1	1
K	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	0

2.6 Расчет матрицы узловых проводимостей

Матрица узловых проводимостей

может быть определена следующим образом:

где

– транспонированная матрица соединений ветвей и узлов,

– диагональная матрица проводимостей ветвей, элементы матрицы определены в пункте 2.4.

Решая матричное уравнение

в среде MathCAD, получена следующая матрица узловых проводимостей

:

3. Нелинейные уравнения установившегося режима

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя и генератора ток задается в следующем виде:

где

– сопряженная заданная мощность трех фаз -го узла;

– сопряженный комплекс междуфазного напряжения -го узла;

– нелинейный ток, зависящий от напряжения.

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:

где

– вектор-столбец, -й элемент которого равен ;

– заданное напряжение балансирующего узла.

Записанное уравнение – уравнение узловых напряжений в форме баланса токов.

Уравнения узловых напряжений можно записать в форме баланса мощности. В матричной форме:

где

– диагональная матрица, -й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения -го узла.

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

где

– вектор-функция;

и – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.

При расчетах вектор независимых переменных задан, т.е.

.

Нелинейную систему можно записать:

3.1 Метод Зейделя

Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением:

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для ускорения сходимости метода Зейделя применяются ускоряющие коэффициенты. Основное достоинство метода Зейделя состоит в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода – в медленной сходимости, или расходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлениями обмотки среднего напряжения и для систем с сильной неоднородностью параметров.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в среде MathCAD методом Зейделя, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

3.2 Метод Ньютона

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системе нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значение неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение.

Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных уравнений с действительными переменными:

Если использовать вектор-столбец

и вектор-функцию , где

,

то систему нелинейных уравнений можно записать в матричном виде:

Пусть

, , - начальные приближения неизвестных. Заменим каждое из нелинейных уравнений линейным, полученным разложением в ряд Тейлора.

Запишем матрицу Якоби, т.е. матрицу производных системы функций

, по переменным :

Тогда систему линеаризованных уравнений можно зависать в матричном виде: