Переходные и импульсные характеристики электрических цепей (стр. 2 из 3)
К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой
и длительностью 
, когда 
(рис. 3): 
Рис. 3
Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод.
По определению:
.Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде
, то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид: 
.
Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:
.
Следовательно, 
.
Для нахождения импульсной характеристики цепи
необходимо применить обратное преобразование Лапласа: 
, т. е. фактически 
.Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи
и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи: 
.
Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.
Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части 
.
Тогда будем иметь 
.
Поскольку
представляет собой изображение производной переходной характеристики, то исходное равенство можно переписать в виде: 
.
Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике:
.
Если
, то 
.Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:
.
По передаточной функции
легко установить наличие в составе функции слагаемого 
.Если степени числителя и знаменателя
одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет.Пример: определить импульсные характеристики для напряжений
и 
в последовательной 
-цепи, показанной на рисунке 4. 
Рис. 4
Определим
: 
.
По таблице соответствий перейдем к оригиналу:
.
График этой функции показан на рисунке 5.
Рис. 5
Передаточная функция
: 
.Согласно таблице соответствий имеем:
.
График полученной функции показан на рисунке 6.
Рис. 6
Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между
и 
.Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие:
.4. Интегралы свертки (наложения)
Рассмотрим порядок определения реакции линейной электрической цепи на сложное воздействие, если известна импульсная характеристика этой цепи
. Будем считать, что воздействие представляет собой кусочно-непрерывную функцию 
, показанную на рисунке 7. 
Рис. 7
Пусть требуется найти значение реакции
в некоторый момент времени 
. Решая эту задачу, представим воздействие в виде суммы прямоугольных импульсов бесконечно малой длительности, один из которых, соответствующий моменту времени 
, показан на рисунке 7. Этот импульс характеризуется длительностью 
и высотой 
.Из ранее рассмотренного материала известно, что реакцию цепи на короткий импульс можно считать равной произведению импульсной характеристики цепи на площадь импульсного воздействия. Следовательно, бесконечно малая составляющая реакции, обусловленная этим импульсным воздействием, в момент времени
будет равной: 
,
поскольку площадь импульса равна
, а от момента его приложения до момента наблюдения проходит время 
.Используя принцип наложения, полную реакцию цепи
можно определить как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих 
, вызванных последовательностью бесконечно малых по площади импульсных воздействий, предшествующих моменту времени .Таким образом:
.
Эта формула верна для любых значений
, поэтому обычно переменную обозначают просто 
. Тогда: 
.
Полученное соотношение называют интегралом свертки или интегралом наложения. Функцию
, которая находится в результате вычисления интеграла свертки, называют сверткой и .Можно найти другую форму интеграла свертки, если в полученном выражении для
осуществить замену переменных: