Магнітне поле у вакуумі (стр. 2 из 2)

Скористаємось законом Біо – Савара - Лапласа в скалярній формі

, (11.2.6)

де кут  - це кут між напрямком елемента провідника із струмом

і радіусом-вектором , як це показано на рис.11.4; - дотичний вектор до силової лінії, напрям якого збігаються з напрямком обертання правого гвинта.

Рис.11.4

З рисунка видно, що

dS=dlsin і dS=rd,

звідки

.

Радіус-вектор

також можна виразити через r_o і кут , тобто

.

З урахуванням цих зауважень закон Біо – Савара - Лапласа набуде вигляду

. (11.2.7)

Інтегруємо вираз (11.2.7) в межах зміни кута  від ₁ до ₂, в результаті чого одержимо

. (11.2.8)

Якщо у виразі (11.2.8) ₁ прямує до0, а ₂ прямує до , то одержимо безмежний прямий провідник із струмом.

У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля буде дорівнювати

. (11.2.9)

б) напруженість магнітного поля буде дорівнювати

. (11.2.10)

З останньої формули легко встановити розмірність напруженості магнітного поля

.

Знайдемо магнітне поле на осі кругового витка із струмом (рис.11.5).

Рис.11.5

Елемент провідника із струмом dl, створює на осі x індукцію магнітного поля dB. Вектор

є дотичним до силової лінії, зображеної на рисунку пунктирною лінією. Складова вектора індукції магнітного поля dB_y буде скомпенсована аналогічним елементом з протилежної сторони. Результуючу індукцію магнітного поля від кругового витка із струмом слід шукати в напрямку осі x (принцип суперпозиції магнітних полів).

З рисунка видно, що

. (11.2.11)

Закон Біо – Савара - Лапласа запишеться

, (11.2.12)

тут враховано, що

.

Підставимо вираз (11.2.12) у (11.2.11), одержимо

. (11.2.13)

Але врахувавши, що

; і ,

одержимо

. (11.2.14)

Інтегруємо цей вираз в межах довжини витка від 0 до 2πR, одержимо

.

Таким чином, магнітна індукція на осі кругового витка дорівнює визначається за допомогою формули

. (11.2.15)

Напруженість магнітного поля у цьому випадку буде дорівнювати

. (11.2.16)

Для індукції та напруженості магнітного поля у центрі колового витка зі струмом одержимо

, (11.2.17)

. (11.2.18)

Знайдемо індукцію і напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда з струмом (рис.11.6).

Рис.11.6

Виділений елемент соленоїда шириною dx, в якому dN витків, що щільно прилягають один до одного, можна розглянути як круговий виток, індукція якого розраховується за формулою (11.2.15)

, (11.2.19)

Кількість витків у виділеному елементі соленоїда дорівнює

dN = ndx,

де n – число витків на одиницю довжини соленоїда.

З урахуванням цих позначень одержуємо

. (11.2.20)

Виконаємо заміну змінних у співвідношенні (11.2.20), тобто

, і .

З урахуванням цих позначень одержимо, що

.

Інтегруємо цей вираз у межах зміни кута від ₁ до ₂. Після інтегрування одержимо

. (11.2.21)

Якщо ₁0, а ₂, одержимо соленоїд безмежної довжини. У цьому випадку:

а) індукція магнітного поля на осі довгого соленоїда

. (11.2.22)

б) напруженість магнітного поля на осі довгого соленоїда

. (11.2.23)

3. Магнітний момент контуру із струмом

Для плоского контуру із струмом I магнітний момент визначається співвідношенням:

, (11.3.1)

де I – струм у контурі; S – площа контуру;

- нормаль до площини контуру, яка збігається з поступальним рухом правого гвинта, якщо його обертати за напрямком струму у витку.

Рис.11.7

Якщо контур із струмом розмістити у зовнішнє магнітне поле, то результуюча сила Ампера, яка діє зі сторони зовнішнього магнітного поля на контур з струмом, буде дорівнювати нулю, тобто

.

У випадку неоднорідного магнітного поля результуючий вектор сили Ампера не буде дорівнювати нулю.

Відповідні розрахунки показують, що в цьому випадку

(11.3.2)

де

- похідна вектора в напрямку нормалі або градієнт вектора в напрямку нормалі до контуру; - магнітний момент контуру.