Кинематика и динамика поступательного движения (стр. 11 из 19)
1. Из набора тел к работе берут (по указанию преподавателя) одно и измеряют период его колебаний относительно произвольной оси.
2. С помощью формулы (7.7) вычисляют момент инерции тела относительно оси качаний.
3. Производят необходимые геометрические измерения и, зная массу тела, вычисляют момент инерции тела относительно центра масс. С помощью теоремы Гюйгенса –Штейнера рассчитывают момент инерции тела относительно оси, проходящей через ось качаний. Измеренный и вычисленный результаты сравнивают в выводе.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы
Изучение основных закономерностей колебательного движения математического маятника.
Идея эксперимента
В эксперименте исследуется колебательное движение груза, подвешенного на длинной нити. Соотношение его элементов таково, что этот физический маятник с достаточной степенью точности может считаться моделью математического маятника.
ТеорияМаятник – тело, совершающее колебательное движение под действием квазиупругой
силы. Простейший маятник – массивный груз на подвесе. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии lот точки подвеса О. Такой маятник называется математическим.
На маятник действуют силы: натяжения нити
и тяжести 
, которые в положении равновесия компенсируют друг друга 
. Для возбуждения колебаний маятник выводят из положения равновесия (рис.16). Теперь 
и маятник обладает избыточной потенциальной энергией mghпо отношению к положению равновесия. Эта энергия обуславливает колебание, происходящее по окружности и описываемое основным уравнением динамики вращательного движения 
, (8.1)где
- результирующий вращающий момент, 
- угловое ускорение, J = ml2 – момент инерции шарика относительно оси ОО¢, проходящей через точку подвеса О, перпендикулярно плоскости колебаний (плоскости чертежа). Результирующий момент силы натяжения нити и силы тяжести равен 
. (8.2)Тогда
. (8.3)Угол
- вектор, направленный от читателя вглубь, так как отсчет угла ведется по часовой стрелке. Векторы 
направлены по оси вращения.Спроецируем выражение (8.3) на ось ОО¢. Примем за положительное направление оси направление вектора
. Тогда 
, (8.4)где 
- радиус-вектор точки, модуль которого равен длине подвеса
.Очевидно, что угол
, а угол 
. Тогда 
. (8.5)Или, так как
. 
(8.6)Для достаточно малых углов sinj»j, тогда
, (8.7)где
.Решение уравнения (8.7) представляет собой гармоническую функцию, соответствующую гармоническому колебанию
, (8.8)где j0 – амплитуда, w0 – частота так называемых собственных колебаний, a0 – начальная фаза.
Мы видим, что w0оказывается циклической частотой этого колебания с периодом
. (8.9)
Решение уравнения (8.6) сложнее и представляет собой колебание с непрерывно изменяющейся частотой, которой соответствует период
. (8.10) 
Экспериментальная установка
Используемый маятник – шарик на бифилярном (двойном) подвесе. (рис. 17). Прибор состоит из горизонтальной планки Г, прикрепленной к стене, вертикальной шкалы Ш, подвеса П с шариком и устройства У для изменения длины маятника. Вверху прибора может быть укреплен транспортир для отсчета углов
отклонения маятника. Кроме того, угол может задаваться по первоначальному отклонению маятника:
. Маятник может быть снабжен таймером, который позволяет отсчитывать время некоторого заранее заданного числа колебаний.Проведение эксперимента
Задание 1. Проверка независимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при малых углах отклонения
Измерения и обработка результатов
Согласно теории период колебаний математического маятника практически не зависит от амплитуды колебаний при углах отклонения менее 5° – формула (8.10). Во всяком случае, эта зависимость лежит за пределами точности измерений периода в нашем опыте – 0, 01 с. При малых углах отклонения оказывается справедливой формула (8.9). Это утверждение и подлежит проверке в данном задании.
1. Измеряют период колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и массе маятника при углах отклонения 1°, 2°, 3°,4°и 5°. Число колебаний выбирают равным 15-20. Данные заносят в таблицу 8.1 отчета.
2. Вычисление периода колебаний производят с точностью до 0,001 секунды. Если различие в периоде колебаний не превышает 0,01 с, то можно сделать вывод о практической независимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при малых углах отклонения.
Задание 2. Проверка зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при углах отклонения, больших 5°.
1. Измеряют период колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и массе маятника при больших углах отклонения от 5° до 60°с шагом 5°. Число колебаний выбирают равным 15-20. Вычисляют период колебаний с точностью до 0,001 с. Данные заносят в таблицу 8.2 отчета.
2. С помощью формулы (8.10) , используя два первых члена формулы, вычисляют теоретические значения периодов колебания математического маятника при заданной длине маятника и выбранных углах.
3. На одном графике строят теоретическую и экспериментальную зависимости периодов колебаний математического маятника от угла отклонения. Обе кривые должны если не совпадать, то, во всяком случае, иметь одинаковый ход. В выводе надо объяснить некоторое несовпадение двух кривых.
Задание 3. Проверка независимости периода колебаний математического маятника от его массы.
1. Для проверки необходимо использовать тела разной массы, но имеющие одинаковые размеры и форму, что позволяет считать силу сопротивления воздуха во всех опытах одинаковой. При этом тела не обязательно должны иметь шарообразную форму. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5°.
Задание 4. Изучение зависимости периода колебаний математического маятника от его длины и определение ускорения свободного падения.
1. Подвешивают на нити стальной шар. Длину подвеса изменяют в пределах от 0,8 до 2,5 м с шагом приблизительно 20 см. Число колебаний в каждом опыте 20-30. Полученные данные заносят в таблицу 8.4 отчета. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5°.
2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого можно, например, построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о выполнении формулы (8.9).
3. Для определения с помощью полученного графика ускорения свободного падения сначала необходимо получить точное уравнение экспериментальной прямой. Для этого